eMatematikas.lt Naujienos Kategorijos Nauja tema Nariai Prisijungti Registruotis
       

Kategorijos

Naudingos temos

Analizinė geometrija, plokštumos lygties suradimas

Kategorija: Aukštoji matematika

360

Sveiki, niekaip nesugebu išspręsti šio uždavinio ir nerandu panašių į jį:

Parašykite plokštumos, einančios per koordinačių sistemos pradžios tašką ir
statmenos tiesei  x+2 /4 = y-3/ 5 = z-1/ -2,  lygtį.

Dėkoju už pagalbą!

0

Nors sąlygą reiktų išmokti teisingai užrašyti: žinant aritmetinių veiksmų prioritetus, aš turėčiau suprasti, kad tu užrašei tokią salygą:
$$x+\dfrac{2}{4}=y-\dfrac{3}{5}=z-\dfrac{1}{-2}$$ Nors galima daryti logišką spėjimą, jog visgi turėta omeny: $$\dfrac{x+2}{4}=\dfrac{y-3}{5}=\dfrac{z-1}{-2}$$ O dabar apie uždavinį. Ką mėginai daryti, kokią prasmę turi parametrai [tex]l,m,n[/tex] ir [tex]A,B,C[/tex], kai tiesės lygtis:
$$\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}$$, o plokštumos lygtis: $$Ax+By+Cz+D=0$$?

0

atsiprašau, bet nesugebėjau parašyti teisingai , kaip jūs tai padarėte. Tiesiog nesuprantu , kaip gauti A,C,B,D. Nes Čia žinau tik tašką M(0,0,0) ir taškus M(2,-3,-1), ir n vektoriu (4;5;-2), bet kaip toliau išspręsti tai nesuprantu

0

Nežinau, iš kur tas taškas M. Bet čia reiktų žinoti, kad [tex]\vec{s}\{l;m;n\}[/tex] yra tiesės krypties vektorius. Tuo tarpu plokštumos normalės vektorius lygus [tex]\vec n\{A;B;C\}[/tex].
O dabar pamąstykime. Jei turime parašyti plokštumos, statmenos duotajai tiesei, lygtį, tai reiškia, jog mūsų ieškomos plokštumos normalės vektorius turi būti kolinearus tiesės krypties vektoriui.
Taigi gauname, kad:
$$\dfrac{l}{A}=\dfrac{m}{B}=\dfrac{n}{C}$$ Kadangi [tex]\vec{s}\{4;5;-2\}[/tex], tai:$$\dfrac{4}{A}=\dfrac{5}{B}=\dfrac{-2}{C}$$
Iš šios lygybės gauname begalę mums tinkančių sprendinių [tex](A;B;C)[/tex], bet suprantame, jog visais tais atvejais jie aprašys vieną kitai lygiagrečias plokštumas. Taigi paėmę vieną trijulę sprendinių (4;5;-2), gauname, jog ieškoma plokštumos lygtis yra:
$$4x+5y-2z+D=0$$
D reikšmę randame, žinodami, jog plokštuma eina per koordinačių sistemos pradžios tašką. Galiausiai gauname:
$$4x+5y-2z=0$$

0

Galima elgtis dar ir kitaip:
Suprasdami, jog tiesės krypties vektorius yra kolinearus plokštumos normalės vektoriui, galime užrašyti, jog plokštumos normalės vektorius yra [tex]\vec{n}\{4;5;-2\}[/tex]. Žinome vieną plokštumos tašką [tex]M_0(0;0;0)[/tex]. Tarkime plokštumai priklauso taškas [tex]M(x;y;z)[/tex]. Tada galime užrašyti, kad: [tex]\vec{M_0M}\{x;y;z\}[/tex]. Žinodami, jog taškas [tex]M(x;y;z)[/tex] priklauso plokštumai tada ir tik tada, kai [tex]\vec{M_0M}\cdot \vec{n}=0[/tex], tai plokštumos lygtį gauname taip:
$$\{x;y;z\}\cdot \{4;5;-2\}=0$$ $$4x+5y-2z=0$$ Man šis variantas labiau patinka :)

1

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!