Antros eilės diferencialinės lygtys

Sveiki, gal kas padėtų išspręsti antros eilės diferencialines lygtis?
y"=cos2x
yy"=y'(1+y')
y"+y'tgx=2sinxcosx
y"-5y'+6y=-3^e3x

Būčiau begalo dėkinga

O su kokiais sunkumais susiduri spręsdama kiekvieną šių lygčių?

Praleidau paskaitas, todėl nelabai suprantu dar sprendimo eigą

2. Pasimokysiu kompu formules rinkt Samantos lygties pagalba...
Taikome keitinį y=[tex]{y}'=p, {y}''=p\frac{\mathrm{dp} }{\mathrm{d} y}[/tex]

yp [tex]\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}[/tex]=p(1+p)
[tex]\frac{dp}{1+p}[/tex]=[tex]\frac{dy}{y}[/tex]
[tex]\int \frac{dp}{p+1}[/tex]=[tex]\int \frac{dy}{y}+C1[/tex]
ln|p+1|=ln|y| + ln|C1|
p = (C1)y - 1
[tex]\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}[/tex]=(C1)y - 1
[tex]\frac{dy}{(C1)y-1)}[/tex]=dx
[tex]\int \frac{dy}{(C1)y-1)}=\int dx +C2[/tex]
[tex]\frac{ln|(C1)y-1|)}{C(1))}=x+C2.[/tex]

1) Pirmają lygtį reikia spręsti integruojant abi lygybės puses. Pirmą kartą gausime:
[tex]y'=\int\cos 2x dx\implies y'=\dfrac{1}{2}\sin 2x+C_1[/tex]
Vėliau integruojame abi lygybės puses dar kartą ir dabar gauname:
[tex]y=\int\left(\dfrac{1}{2}\sin 2x+C_1\right)dx=-\dfrac{1}{4}\cos 2x+C_1x+C_2[/tex]

2) Čia taikome keitinį [tex]y'=p(y)=p[/tex]. Tuomet pagal sudėtinės funkcijos diferencijavimo taisyklę gauname, kad: [tex]y''=p\cdot \dfrac{dp}{dy}[/tex]
Tuomet gautas lygybes susistatę į duotą lygtį gauname pirmos eilės diferencialinę lygtį, kurią išsprendžiame atskirdami kintamuosius. Gavę funkciją [tex]p(y)[/tex] grįžtame prie keitinio [tex]y'=p(y)[/tex] ir išsprendę šią pirmos eilės diferencialinę lygtį, gauname atsakymą.

3) Čia taikome keitinį [tex]y'=p(x)=p[/tex]. Tada: [tex]y''=p'[/tex]. Gauname pirmos eilės diferencialinę lygtį:
[tex]p'+p\tan x=\sin 2x[/tex]
Manau ją išspręsti moki. Vėliau gavus [tex]p(x)[/tex] išsprendi lygtį: [tex]y'=p(x)[/tex] ir gauni atsakymą.

4) Pirmiausiai išsprendžiame homogeninę antros eilės diferencialinę lygtį su pastoviaisias koeficientais, t.y. lygtį: [tex]y''-5y'+6y=0[/tex] Ši lygtis yra sprendžiama sudarant charakteringą lygtį pažymėjus [tex]y''[/tex] kaip [tex]\lambda^2[/tex], [tex]y'[/tex] kaip [tex]\lambda[/tex], o vietoje [tex]y[/tex] imant 1. Tada išsprendžiame gautą kvadratinę lygtį:
[tex]\lambda^2-5\lambda+6=0[/tex]. Gavus realiuosius sprendinius [tex]\lambda_1[/tex] ir [tex]\lambda_2[/tex] užrašome lygties [tex]y''-5y'+6y=0[/tex] bendrąjį sprendinį: [tex]Y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}[/tex].
Bendrąjį sprendinį duotosios lyties galime rasti Lagranžo metodu. Konstantas [tex]C_1[/tex] ir [tex]C_2[/tex] pakeitę funkcijomis, galime užrašyti, jog duotosios lygties bendrasis sprendinys yra:
[tex]y=C_1(x)e^{\lambda_1x}+C_2(x)e^{\lambda_2x}[/tex]
Pažymėję [tex]y_1(x)=e^{\lambda_1x}[/tex] ir [tex]y_2(x)=e^{\lambda_2x}[/tex] randame Vronskio determinantą:
[tex]W(y_1,y_2)=\begin{vmatrix}
y_1(x) &y_2(x) \\
y_1'(x) &y_2'(x)
\end{vmatrix}[/tex]
Jei [tex]W(y_1,y_2)≠0[/tex], tai:
[tex]C_1(x)=-\int\dfrac{y_2(x)f(x)}{a_0(x)W(y_1,y_2)}dx+C_1^*[/tex]
[tex]C_2(x)=\int\dfrac{y_1(x)f(x)}{a_0(x)W(y_1,y_2)}dx+C_2^*[/tex]
, kai sprendžiama diferencialinė lygtis yra pavidalo: [tex]a_0(x)y''+a_1(x)y'+a_2(x)=f(x)[/tex]
Radę funkcijas [tex]C_1(x),C_2(x)[/tex], užrašome atsakymą:
[tex]y=C_1(x)e^{\lambda_1x}+C_2(x)e^{\lambda_2x}[/tex]

Gal galėtumėte išspręsti būtent su mano konkrečiu pvz? Man reikia padaryti kitas panašias lygtis, todėl būtų aiškiau

Gal galite parodyti konkretų 2 ir 4 sprendimus?

Ne, negaliu, bet galiu pagelbėti spręsti uždavinį, jei parodysi, ką pavyko nuveikti ir kur sustojai.

sustojau ties Vronskio determinanto. Tiksliai nežinau, ką rašyti