Apie realiųjų skaičių sekas

Matematikoje sekos gali būti įvairios: skaičių sekos, vektorių sekos, sekų sekos, funkcijų sekos, matricų sekos ir dar daugiau...

Šioje pamokoje apžvelgsiu tik realiųjų skaičių sekas.
Glaustai pateiksiu esminius apibrėžimus bei paaiškinimus.
Pateiksiu keletą pavyzdžių, kurie atitiks šios pamokos turinį. Juos patalpinsiu pranešimuose



Kas yra realiųjų skaičių seka?

1 apibrėžimas
Realiųjų skaičių seka [tex]f(n)[/tex] yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis - natūraliųjų skaičių aibė [tex]\mathbb{N}[/tex], o reikšmių sritis yra koks nors netuščias realiųjų skaičių aibės [tex]\mathbb{R}[/tex]
poaibis A.
Matematiniais simboliais tai atrodytų taip: [tex]f(n):\mathbb{N}\rightarrow A[/tex].

Skaičius n yra sekos argumentas; jis nurodo, kelintas sekoje yra sekos narys f(n).
Vietoje užrašo f(n), įprasta naudoti užrašą [tex]x_n[/tex], kuris išreiškia n - tojo sekos nario išraišką.
Žymėjimas [tex](x_n,n\in \mathbb{N})[/tex] reiškia aibę, sudarytą iš šios sekos narių.

Yra ne vienas būdas sekoms apibrėžti:
Sekos narius galime išreikšti per jos n- tojo nario išraišką, kuri priklauso tik nuo n; Ši išraiška gali būti ir sudurtinė.
Kitas būdas išreikšti seką - tai rekurentiškai t.y. kai vienus sekos narius išreiškiame per kitus bei, galbūt, dar ir per n - tąjį sekos narį n.

2 apibrėžimas
Seka [tex](x_n)[/tex] vadinama teigiama, jeigu [tex]x_n>0,~\forall n\in \mathbb{N}[/tex].
Kitaip tariant, seka yra teigiama, jei visi sekos nariai yra teigiami.

Analogiškai galime apibrėžti neigiamas, neteigiamas, neneigiamas sekas...

3 apibrėžimas
Seka [tex](x_n)[/tex] vadinama didėjančia, jeigu [tex]x_{n+1}>x_n ,~\forall n\in \mathbb{N}[/tex].
Kitaip tariant, seka yra didėjanti, jei bet kuris jos narys yra didesnis už prieš jį esantį (gretimą) narį.

Analogiškai galime apibrėžti nemažėjančias, nedidėjančias, mažėjančias, pastovias sekas.
Sekos dar vadinamos griežtai monotoniškomis, kai jos yra didėjančios arba mažėjančios, ir negriežtai monotoniškomis, kai jos yra nemažėjančios ir nedidėjančios.



Paskutinį kartą atnaujinta 2017-01-19

peržiūros 351

atsakymai 4

aktyvumas 8 mėn

 

1 pavyzdys:
[tex]f(n)=7[/tex].

Tai seka, kurios apibrėžimo sritis yra natūraliųjų skaičių aibė [tex]\mathbb{N}[/tex], o reikšmių sritis yra aibė A = {7}, t.y. aibė, sudaryta iš vieno elemento.

[tex]x_n=7[/tex],
[tex](x_n)=\left \{ 7,7,7,... \right.\left. \right \}[/tex]

Kadangi visi sekos nariai yra teigiami, tai pagal antrąjį apibrėžimą, ši seka yra teigiama.
Visi šios sekos nariai yra tokie patys, tačiau pagal trečiąjį apibrėžimą, ši seka gali būti laikoma tiek nedidėjančia, tiek nedidėjančia; arba tiesiog ją galima vadinti pastovia seka.

Taip pat ši seka tenkina visas aritmetinės progresijos savybes.

2 pavyzdys
Panagrinėkime seką [tex](x_n:=\sqrt{n+2}-\sqrt{n},n\in \mathbb{N})[/tex], (šaknis aritmetinė)

Ar ši seka yra teigiama?

Kadangi [tex]\sqrt{n+2}>\sqrt{n}[/tex] kad ir koks bebūtų skaičius n ∈ N, tai
[tex]x_n:=\sqrt{n+2}-\sqrt{n}>0 [/tex], taip pat su bet kuriuo natūraliuoju skaičiumi n.

Vadinasi, visi sekos nariai yra teigiami, taigi ir ši seka yra teigiama.

Kam lygus didžiausias šios sekos narys?

Išrašykime kelis pirmuosius šios sekos narius:
[tex]x_1=\sqrt{3}-1\approx 0,732[/tex]
[tex]x_2=\sqrt{4}-\sqrt{2}\approx 0,586[/tex]
[tex]x_3=\sqrt{5}-\sqrt{3}\approx 0,504[/tex]
[tex]x_4=\sqrt{6}-\sqrt{4}\approx 0,450[/tex]
......
Išrašinėdami sekos narius, matome, kad pirmieji jos nariai mažėja. Tačiau negalime tvirtinti, kad pati seka yra monotoniška. Jeigu mes įrodytume, kad ši seka yra mažėjanti, tai tokiu būdu mes galėtume teigti, kad didžiausias sekos narys yra pirmasis narys.

Visgi ši seka yra mažėjanti: kaip tai įrodyti?

Remsimės trečiuoju apibrėžimu.
Perrašykime jį taip, kad jis atitiktų mažėjančios sekos atvejį:

Seka [tex](x_n,n\in \mathbb{N})[/tex] yra vadinama mažėjančia, jei [tex]x_{n+1}<x_n[/tex] su bet kurio natūraliuoju skaičiumi n.

Įrodymas
Tarkime, kad n yra koks nors natūralusis skaičius (įrodyme užrašyti šį sakinį yra svarbu).

Nelygybėje [tex]x_{n+1}<x_n[/tex] abi puses padalinkime iš [tex]x_n[/tex]. Tada turėsime, kad
[tex]\frac{x_{n+1}}{x_n}<1[/tex].

Jeigu mums pavyks įrodyti, kad kairė nelygybės pusė yra mažesnė už 1, tai mes įrodysime, kad seka [tex](x_n)[/tex]yra mažėjanti.

Įrašome n - tojo ir (n + 1) - ojo sekos narių išraiškas. Tada turime, kad
[tex]\frac{x_{n+1}}{x_n}=[/tex][tex]\frac{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}=[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}\cdot \frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}\cdot \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=[/tex][tex]\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}<1[/tex]

Taigi įrodėme, kad seka yra mažėjanti.

Taigi didžiausias jos narys yra [tex]x_1=\sqrt{3}-1[/tex].

Pastaba: Ši seka turi tik didžiausią narį, mažiausias šios sekos narys neegzistuoja.

Klausimas: ar visi šios sekos nariai priklauso iracionaliųjų skaičių aibei?

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-01-19

3 pavyzdys
Nagrinėkime seką, kurį apibrėžta rekurentiškai:
[tex]x_{n+1}=n+x_n,~n_1=3[/tex]

Rasime 7 - tąjį sekos narį ir ištirsime sekos monotoniškumą.

Kai turime seką, apibrėžtą rekurentiniu sąryšiu, tai 7 - tojo jos nario ieškome per pirmesnius jos narius:
Kadangi [tex]x_1 = 3[/tex], tai
[tex]x_2=1+x_1=1+3=4[/tex], tada
[tex]x_3=2+x_2=2+4=6[/tex],
[tex]x_4=3+x_3=3+6=9[/tex],
[tex]x_5=4+x_4=4+9=13[/tex],
[tex]x_6=5+x_5=5+13=18[/tex],
[tex]x_7=6+x_6=6+18=24[/tex]. Radome ieškomą sekos narį.

Tirkime sekos monotoniškumą.

Iš rekurentinio sąryšio [tex]x_{n+1}=n+x_n[/tex] abiejų pusių atėmę dydį [tex]x_n[/tex], turėsime, kad
[tex]x_{n+1}-x_n = n > 0[/tex], t.y.
[tex]x_{n+1}>x_n[/tex].
Kadangi ši nelygybė gauta su bet kokiu natūraliuoju skaičiumi n, tai remiantis trečiuoju apibrėžimu, galime tvirtinti, kad nagrinėjama seka didėjanti.


4 pavyzdys
Nagrinėkime seką, kurios n - tojo nario išraiška yra sudurtinė funkcija.
[tex]x_n=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2^n},~kai~n~lyginis\\ \frac{1}{3^n},~kai~n~nelyginis \end{matrix}\right.[/tex]

Akivaizdu, kad ši seka yra teigiama.

Išrašykime ketetą pirmųjų šios sekos narių.
[tex](x_n)=\left \{ \frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{27},\frac{1}{16} ,...\right \}[/tex]

Matome, kad ši seka nėra monotoniška.

Pastaba.
Ši seka yra dviejų nykstamų geometrinių progresijų sudėtis, todėl galime nesunkiai rasti jos sumą.

Pabandykit ją suskaičiuoti.
Ji lygi 17/24.



Paskutinį kartą atnaujinta 2017-01-19

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!