eMatematikas Kategorijos Nauja tema Formulynas Nariai Prisijungti Registruotis
       

Aritmetinė progresija, jos penktojo nario apskaičiavimas

Kategorija: Skaičiavimai

peržiūros 259

Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių aritmetinis vidurkis lygus n-1. Apskaičiuokite penktąjį šios progresijos narį.
Ats:.8
Atrodo kad ir kaip daug išsprendžiau su progresijom susijusių uždavinių, bet vis tiek sugebėjau pakibti XD
Taigi pradėjau nuo vidurkio: (((a1+an)/2)*n)/n=n-1  ---->
Išsireiškiau a1=((n-1)(1-d))/2
Stačiausi į lygtį an=a1+d(n-1)  ---->
Ir gaunu a5=2+2d

Matos, kad suklydau, turėjo lyg ir susiprastinti raidės tik kur?

0

Išvada (((a1+an)/2)*n)/n=n-1  ----> a1=((n-1)(1-d))/2, jeigu pritaikėme $a_n=a_1+d(n-1)$, nebuvo teisinga. Pritaikius turi gautis:
$\frac{\frac{a_1+a_n}{2}*n}{n}=n-1$
$\frac{a_1+a_n}{2}=n-1$
$\frac{2a_1+d(n-1)}{2}=n-1$
$a_1+\frac{d(n-1)}{2}=n-1$
$a_1=n-1-\frac{d(n-1)}{2}$
$a_1=\frac{2(n-1)}{2}-d\frac{n-1}{2}$
$a_1=\frac{(2-d)(n-1)}{2}$

0

Jeigu įstatytume šią išraišką į $a_n=a_1+d(n-1)$, turėtume:
$a_n=\frac{(2-d)(n-1)}{2}+d(n-1)$;
$a_n=\frac{(2-d)(n-1)}{2}+\frac{2d(n-1)}{2}$;
$a_n=\frac{(2+d)(n-1)}{2}$.
Matome, kad narys $d$ niekur neišnyksta.

0

mathfux, o kaip užbaigtumei sprendimą?

0

Gal padėtų mintis, kad užtenka paimti $n=1$ ir $n=2$ ir taip galėsime nustatyti pirmąjį narį, o po to žinant pirmų dviejų narių vidurkį rasti taip pat ir antrąjį narį?

1

Pirmi du nariai nusako ir visą aritmetinę progresiją: pirmas narys aiškus, progresijos skirtumas - irgi. Man šis sprendimas kilo ekspromtu.

1

Įdomiai išsukai čia viską. Matai dėl ko klausiu, nes kaip matai net jei hulana būtų teisingai išsireiškusi [tex]a_1[/tex] ji visvien būtų pastrigusi ties tuo, jog gauna [tex]a_5=2(2+d)[/tex].

Pateiksiu dar dvi alternatyvas šiam uždaviniui išspręsti:
Ko gero lengviausia ką buvo galima pastebėti, jog iš sąlygos galima užsirašyti, jog:
$$\dfrac{S_n}{n}=n-1$$ tada gauname, kad: $$S_n=n(n-1)$$ Čia svarbu buvo suvokti, jog sąlygos dalis:

Aritmetinės progresijos pirmųjų n narių aritmetinis vidurkis lygus n-1.
reiškia, ne kad egzistuoja tam tikras [tex]n[/tex], su kuriuo narių [tex]a_1,a_2,...,a_n[/tex] vidurkis lygus [tex]n-1[/tex], o su visomis natūraliomis [tex]n[/tex] reikšmėmis šis teiginys teisingas. Tada suprantame, jog: $$S_n=n(n-1)$$ išreiškia tos aritmetinės progresijos [tex]n[/tex] narių sumą. O tai suvokdami galime pasinaudoti tuo, kad:
$$a_n=S_n-S_{n-1}$$ ir gauti, kad:
$$a_n=2(n-1)$$ vadinasi:
$$a_5=2\cdot (5-1)=8$$
Kitas variantas remtųsi ta idėja, kuri vyrauja hulana ir mathfux sprendimuose, tik gavus: $$a_1=\dfrac{(2-d)(n-1)}{2}$$ reikia suprasti, jog [tex]a_1[/tex] reikšmė negali priklausyti nuo [tex]n[/tex], vadinasi [tex]2-d[/tex] privalo būti lygu 0. Iš to gauname, kad: [tex]a_1=0,\space d=2[/tex], vadinasi [tex]a_n=2(n-1)[/tex] ir galiausiai [tex]a_5=8[/tex]

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-04-04

2

Šiaip sprendžiant sunkesnius uždavinius patarimas būtų tinkamai samprotavime išnaudoti ne pačias formules, o jų loginius pagrindus. Aritmetinėms progresijoms jų daug nėra:

• Formulės $S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$ loginis pagrindas: dėmenų suma yra dėmenų vidurkis, dauginamas iš dėmenų skaičiaus (tink nebūtinai aritmetinėms progresijoms)
• Formulės $a_n=a_1+d(n-1)$ loginis pagrindas: norint gauti $n$-tąjį aritmetinės progresijos narį reikia prie pirmo nario $n-1$ pridėti duotą skirtumu $d$. Tai atsispindi užraše $a_1+d(n-1)$ Pvz.: sekoje 5, 3, 1, -1,... ketvirtas narys ($n=4$, $a_n=a_4=-1$) gaunamas tris kartus prie pirmo nario ($a_1$) pridedant skirtumą $d=-2$. Turime: $5+(-2)+(-2)+(-2)=5+3\cdot (-2)=-1$

Pasiūlymas būtų seką taip ir įsivaizduoti:

$a_1,a_1+d,a_1+2d,a_1+3d,a_1+4d,...$

Taip vaizduodami seką mes galėtume užmiršti antrą loginį pagrindą, nes jis ir taip tokiame užrašyme išnaudotas. Beliktų tik atakuoti narių sumavimą.

Žiūrime, kaip šiuo patarimu gali būti pasinaudota šiame uždavinyje. Teiginys ,,pirmųjų n narių aritmetinis vidurkis lygus n-1" atitiktų lygybę

$\boxed{\frac{a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+(a_1+3d)+(a_1+4d)+\dots+(a_1+(n-1)d)}{n}=n-1}$

Prastiname:

$\frac{na_1+(1+2+...+(n-1))d}{n}=n-1$
$\frac{na_1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot d}{n}=n-1$ pagal lygybę $(1+2+...+(n-1))=\frac{n(n-1)}{2}$

$a_1+d\cdot\frac{n-1}{2}=n-1$

Žodžiu, gavome iš esmės tą patį, ką ir mano komentaruose prieš tai ligi tos vietos, kur Tomas14 pasiteiravo, kaip būtų galima užbaigti sprendimą. Tik nuo šios vietos žinodamas savo formulių loginius pagrindus galiu daug lanksčiau mąstyti: pavyzdžiui pasvarstyti, kas vyksta kintant $n$. Taip geriau suprasti, kad lygybė galioja bet kuriam $n$, kokį tik paimtume.

Paėmus $n\to 1$ iškart lygybėje turime: $a_1=0$.
Paėmus $n\to 1$ iškart lygybėje turime: $a_1+\frac{d}{2}=1$. Taigi, $d=2$, $a_2=2$. Manau jau aišku, kodėl $a_5=8$.

Šis sprendimas buvo tik parodomasis, skirtas atskleisti, kaip galime efektyviau panaudoti aritmetinėse progresijose paslėptą informaciją. Galima pastebėti, kad buvo galima tiesiog naudoti algebriškai nepertvarkytą apibrauktą lygybę ir uždavinio sprendimui įtakos tai neturėtų. Tačiau būtent dėl tinkamo aritmetinės progresijos įsivaizdavimo man ir kilo idėja naudoti $n=1$ ir $n=2$, kaip rašiau po Tomo14 komentaru žemiau.



1

Dėkui už tokią plačią informaciją ;) paanalizavus jūsų pateiktus pavyzdžius, labai daug kas išaiškėjo: aritmetinės geometrijos įpatumai. Labai pravers kitiems uždaviniams.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-04-04

0

Teisingai, aš tik norėjau patikrinti, ar hulagos sprendimas veda į tikslą, net jei jis būtų pataisytas. Įsitikinome, kad neveda. Šiaip jau neatsimenu, ar kada nors savo mokyklinių uždavinių sprendimuose esu naudojęs aritmetinių progresijų sumų (besiskiriančių vienu nariu) atimtį, idėja man šiek tiek nauja. Įdomu tik, kiek programinė. Tačiau mano idėja užsirašyti aritmetines progresijas efektyviau irgi nežinau, kiek programinė.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-04-04

1

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!