Atvirkštinė funkcija, bendrų taškų koordinatės

Sveiki. Visiškai užmiršau kaip reikia spręsti tokia užduotis. Gal kas galit pagelbėti?

Duota funkcija f(x)= 1/2x^2, x≥0.
1) Parodykite, kad šiai funkcijai atvirkštinė funkcija yra g(x)=√2x  (x priklauso pošakniui)
2)Raskite funkcijų f(x) ir g(x) grafikų bendrų taškų koordinates.

1) Isreisk y per x: x²=2y; x=√(2y). Ir tada apkeisk vietomis x ir y.

2) Na, cia elementaru - tiesiog sulygink abi lygtis, pakelk abi puses kvadratu ir isspresk. Beje, nepamirsk patikrinti, ar tinka sprendiniai pagal saknies apibrezimo sriti.

zzas norėjo pasakyti - išreikšk x per y , po to sukeisk juos vietomis.

Arba galima iš pat karto sukeisti, o po to išsireikšti y per x.

Pvz. Duota funkcija y = 3√(x+1) - 2.

Sukeičiam x su y:  x = 3√(y+1) - 2.

Išreiškiam y:

3√(y+1) = x+2

√(y+1) = (x+2)/3

y+1 = (x+2)²/9

y = (x+2)²/9 - 1  <----  atvirkštinė funkcija  g(x) = (x+2)²/9 - 1

Na taip, Milkhater teisus, negalima iš karto sukeisti, kadangi išraiška gaunasi nevienareikšmiška ir reikia atrinkti, kuris variantas tinka.

Na tenka pripažinti, jog kintamųjų sukeitimas iškart gali pridaryti problemų, tiesa nevisada. Rasiukaitės pavyzdžio atveju reikia nustatyti, jog duotosios funkcijos reikšmių sritis yra [tex]E_f=[-2;+∞)[/tex], vadinasi rasta atvirkštinė funkcija yra:
[tex]f^{-1}(x)=\dfrac{(x+2)^2}{9}-1[/tex], kai [tex]x≥-2[/tex]

Taigi, nevykusį pavyzdį paėmiau - iš karto matosi, kad su atvirkštinėm funkcijom retai susiduriu :)

Tai dabar, kadangi čia daug visko prirašėme, ir neteisingai, ir teisingai, manau, būtų geriausia, jeigu kas nors gražiai surašytų teisingą šio uždavinio sprendimą, kad tiems, kurie žiūrės, būtų aišku, kaip turi būti iš tikrųjų.

Pati ir surašau.
Duota funkcija $f(x)= \frac {1}{2}x^2, x≥0. $
1) Parodykite, kad šiai funkcijai atvirkštinė funkcija yra $g(x)= \sqrt {2x} $
2) Raskite funkcijų f(x) ir g(x) grafikų bendrų taškų koordinates.

1) Taigi, $y=\frac {1}{2}x^2. $ Tada $x^2 = 2y => x=± \sqrt {2y}. $

Kadangi sąlygoje pasakyta, kad $x≥0,$ tai tinka išraiška su ženklu "+", t.y. $ x= \sqrt {2y}. $

Dabar sukeičiame x su y vietomis ir gauname $ y = \sqrt {2x} $ arba, pavadinę nauja funkcija, $ g(x) = \sqrt {2x} .$

2) Bendri taškai arba grafikų susikirtimo taškai:

$ \begin{cases} y= \frac {1}{2} x^2 \\ y= \sqrt {2x} \end{cases} $

$\frac {1}{2} x^2 = \sqrt {2x} $

$ x^2 = 2 \sqrt {2x} $

Pakeliam abi puses kvadratu:

$ x^4 = 4 \cdot 2x $

$ x^4 - 8x =0 $

$x(x^3 -8 ) = 0$

$x=0 \quad $ arba $\quad x^3 = 8 => \quad x=2.$

Kai $x=0, \; y= 0, \; $ kai $\; x=2,\; y= 2. \; $

Funkcijų f(x) ir g(x) bendri taškai $(0; 0),\; (2; 2).$