Brilianto masė. Formulės sudarymas. Išvestinė.

Brilianto kaina tiesiogiai proporcinga jo masės kvadratui. Briliantas, kurio masė p karatų (1karatas - 0.2g)buvo padalytas į dvi dalis. Dėl to jo kaina sumažėjo n kartų. Apskaičiuokite abieju brilianto dalių masę. Įrodykite, kad didžiausias nuostolis būna tada, kai briliantas padalijamas į dvi dalis.

Koks atsakymas duodamas briliantu masiu?

Iš sąlygos, kai p/2.

Ne, kokia abieju padalintu briliantu daliu mase?

Gan painiai suformuluota uždavinio sąlyga :( Nesupratau, kas yra n?  Dalių skaičius ar šiaip tiesiog n? Koks tas n - natūralus ar realus? Laikysime, kad n - natūralusis skaičius.

1) Brilianto kaina tiesiogiai proporcinga jo masės kvadratui, t.y. kaina K = c*m².

Tada pradinio brilianto kaina K0 = c*p².

Tarkim, kad briliantas padalintas į dvi dalis:

1.  x karatų  ->  kaina K1 = c*x²

2.  (p - x) karatų ->  kaina K2 = c*(p - x)²

Po padalinimo kaina sumažėjo n kartų, t.y. K0 = n*(K1 + K2).

*************Pataisymas:************

cp² = n(cx² + c(p - x)²)  |: c

p² = n(x² + (p - x)²)

p² = n(x² + p² - 2px + x²)

p² = n(2x² - 2px + p²)

2nx² - 2npx + np² - p² = 0

Kvadratinė lygtis x atžvilgiu.

D = (2np)² - 4(np² - p²)2n = 4n²p² - 8n(np² - p²) = 4n²p² - 8n²p²+8np²=

= 8np² - 4n²p² = 4np²(2 - n)

Lygtis turi realias šaknis, kai D≥0, t.y. kai 2 - n ≥0 arba n≤ 2.  Jeigu laikysime, kad n yra natūralusis skaičius, tai tinka tik 1 arba 2. O kadangi sąlygoje pasakyta “sumažėjo n kartų“, tai n =2.

Tada D=0, o lygtis tampa 4x² - 4px + p² = 0 arba (2x - p)² = 0.

2x - p = 0, x = p/2.

Taigi, vienos brilianto dalies masė x = p/2 karato  ir  kitos dalies masė  p - x = p/2 karato.


2) Įrodykite, kad didžiausias nuostolis būna tada, kai briliantas padalijamas į dvi dalis.
???  Gal į dvi lygias dalis????

Skaičiuojame nuostolį - tai skirtumas tarp pradinės brilianto kainos ir padalintų dalių kainų sumos:

f(x) = cp² - (cx² + c(p - x)²)

Didžiausia žala, kai skirtumas maksimalus, t.y. ieškome maksimumo (c, p yra konstantos):

f’(x) = (cp² - cx² - c(p-x)²)’ = - 2cx - 2c(p - x)(-1) = -2cx + 2c(p -x) = 2c(p - 2x)

Kritiniai taškai:

2c(p - 2x) = 0  | :2c

p - 2x = 0

x = p/2

Tai ir yra maksimumo taškas (kai x<p/2, tai f’(x) >0; kai x >p/2, f’(x) < 0).

T.y. nuostolis maksimalus, kai daliname į dvi lygias dalis.

Dėkui, taip, į dvi lygias dalis, skubėjau rašyti ir matai kaip gavosi :D