Katrė ir Stasys turi išplauti ir sutvarkyti garažą. Lėkštes tiek vienas, tiek kitas išplauna per vieną valandą. Garažą Katrė tvarkytų greičiau, t.y. per vieną valandą išneštų 3 krepšius šiukšlių, o Stasys per tą patį laiką – 2. Garaže susidarys 6 krepšiai šiukšlių. Per kiek laiko, dirbdami veiksmingiausiai, jie padarys darbą?
AncientMariner +411
Pažymėkime a laiką, kurį Katrė plaus lėkštes ir b laiką, kurį tvarkys garažą. Taip pat pažymėkime u laiką, kurį Stasys plaus lėkštes ir v laiką, kurį tvarkys garažą. Pažymėkime minimalų ruošos laiką T. Tuomet
(1): a, b, u, v ≥ 0, (2): a + u = 1, (3): 2b + 3v = 6, (4): T ≥ a + b, (5): T ≥ u + v.
Pakomentuosiu paskutines nelygybes. Ruoša baigsis, kai darbus baigs ir Katrė (tai bus po laiko u + v), ir Stasys (tai bus po laiko a + b). Taigi T = max{a + b, u + v}, o tai reiškia (4) ir (5) nelygybes.
Teigiu, kad T ≥ 8/5. Galiu tai įrodyti padauginęs (2) lygtį iš 2 ir sudėjęs su (3) lygtimi. Gaunu 2a + 2b + 2u + 3v = 8. Pasinaudojęs (1), (4) ir (5) nelygybėmis gaunu 5T ≥ 5T - u = 2T + 3T - u ≥ 2(a + b) + 3(u + v) - u = 2a + 2b + 2u + 3v = 8, t.y. T ≥ 8/5, kaip ir teigiau.
Belieka išdėstyti darbą taip, kad galiotų T = 8/5. Parinkime a = 1, u = 0, b = 3/5, v = 8/5. Tuomet viskas galioja. Taigi veiksmingiausi dirbdami jie sugaiš 8/5 h.