Diferencialinės lygtys

y''+15y= 0 kaip spręsti tokią dif. lygtį?

gavau atsakymą c1ex+c2e15x

Ar jis teisingas? pabrėžiu iksai yra laipsnyje.

Ne. Atsakymas:
[tex]y=C_1cos(\sqrt{15}x)+C_2sin(\sqrt{15}x)[/tex]

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-04-19

Sudarome charakteringąją lygtį. Ją išsprendę šiuo atveju gauname menamas šaknis.
Kai [tex]\lambda=\alpha±\beta i[/tex], tai diferencialinės lygties sprendinys: [tex]y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)[/tex]

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-04-19

Sprendžiant diferencialines lygtis verta nustatyti jos tipą.
Šiuo atveju dif. lygtis yra 1) tiesinė, 2) homogeninė, 3) su pastoviais koeficientais.

Ji sprendžiama sprendinio ieškant tokiu pavidalu: [tex]y(x)=e^{kx}[/tex]. k - koks nors skaičius (charakteringosios lygties sprendinys).

Įrašome šią išraišką į dif. lygtį:

[tex]\left ( e^{kx} \right )''+15e^{kx}=0[/tex]. Suradę išvestinę, turėsime, kad

[tex]k^2e^{kx}+15e^{kx}=0[/tex]. Dalijame abi puses iš [tex]e^{kx}[/tex]. Taip daryti galima, nes šis dydis visada yra teigiamas. Tada gausime diferencialinės lygties charakteringąją lygtį

[tex]k^2+15=0[/tex]. Jos sprendiniai yra lygūs [tex]k=\sqrt{-15}=\pm i \sqrt{15}[/tex]
Taigi gavome du charakteringosios lygties sprendinius. Abu jie - grynai menami t.y. neturi realiosios dalies.

Dabar, grįžę prie prielaidos apie ieškomo sprendinio pavidalą, galime parašyti.
[tex]y_1=e^{-i\sqrt{15}x}~~ir~~y_2=e^{i\sqrt{15}x}.[/tex] Tai - atskirieji dif. lygties sprendiniai.

Iš teorijos reikia būtinai žinoti, kad šie sprendiniai yra dar ir tiesiškai nepriklausomi, todėl bendrasis dif. lygties sprendinys yra lygus tų dviejų atskirųjų (ir tiesiškai nepriklausomų) sprendinių tiesiniam dariniui t.y.

[tex]y=c_1y_1+c_2y_2,~kur~~c_1~ir~c_2[/tex] yra kokie nors skaičiai.

Taigi [tex]y=c_1e^{i\sqrt{15}x}+c_2e^{-i\sqrt{15}x}[/tex]
Tai ir būtų atsakymas. Ir jis yra kompleksinis.

Galima gauti ir kitokį šio sprendinio pavidalą. Rasime trigonometrinį sprendinio pavidalą:

[tex]y=c_1\left ( \left | e^{i\sqrt{15}x} \right |(\cos(\sqrt{15}x)+i \sin(\sqrt{15}x)) \right )+ c_2\left ( \left | e^{-i\sqrt{15}x} \right |(\cos(-\sqrt{15}x)+i \sin(-\sqrt{15}x)) \right )[/tex]

Kadangi [tex]y=\left | e^{i\alpha} \right |\equiv 1[/tex], sinx yra nelyginė, o cos x yra lyginė funkcijos, tai

[tex]y= c_1\left (\cos(\sqrt{15}x)+i \sin(\sqrt{15}x) \right )+ c_2\left (\cos(-\sqrt{15}x)+i \sin(-\sqrt{15}x) \right )=[/tex]
[tex]c_1\left (\cos(\sqrt{15}x)+i \sin(\sqrt{15}x) \right )+ c_2\left (\cos(\sqrt{15}x)-i \sin(\sqrt{15}x) \right )[/tex]

Šią išraišką pertvarkome į dvi dalis taip, kad viena dalis būtų su kosinusu, o kita - su sinusu:

[tex]y=\left ( c_1+c_2 \right )\cos (\sqrt{15}x)+\left ( c_1-c_2 \right )i \sin(\sqrt{15}x)[/tex]

Pažymėję [tex]c_1+c_2=C_1~~ir~~\left ( c_1-c_2 \right )i=C_2[/tex], gausime, kad

[tex]y=C_1\cos(\sqrt{15}x)+C_2\sin (\sqrt{15}x)[/tex]. Būtent tokios bendrojo sprendinio išraiškos paprastai tikimasi iš studentų.

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-04-19

Na nežinau ar tokio komplikuoto sprendimo reikia. Čia panašu į kvadratinės lygties sprendimą netaikant jos sprendinio radimo formulės, o atliekant pertvarkymus, kurie reikalingi tos formulės įrodymui.
Siūlyčiau tokį sprendimą:
Kai turime antros eilės tiesinę homogeninę diferencialinę lygtį su pastoviaisiais koeficientais:
[tex]a_0y''+a_1y'+a_2y=0[/tex]
Sudarome charakteringąją lygtį:
[tex]a_0\lambda^2+a_1\lambda+a_2=0[/tex]
Ją išsprendę galime gauti tris atvejus:
1) kai šaknys [tex]\lambda_1[/tex] ir [tex]\lambda_2[/tex] yra realiosios ir skirtingos, tai diferencialinės lygties bendrasis sprendinys:
[tex]y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}[/tex]
2) kai šaknys [tex]\lambda_1[/tex] ir [tex]\lambda_2[/tex] yra realiosios ir lygios, tai diferencialinės lygties bendrasis sprendinys:
[tex]\lambda_1=\lambda_2=\lambda[/tex]
[tex]y=e^{\lambda x}(C_1+C_2x)[/tex]
3) kai šaknys [tex]\lambda_1[/tex] ir [tex]\lambda_2[/tex] yra menamos, tai diferencialinės lygties bendrasis sprendinys:
[tex]\lambda_1=\alpha+\beta i[/tex]  ir  [tex]\lambda_2=\alpha-\beta i[/tex]
[tex]y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)[/tex]

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-04-19

Tai sakai, nežinai, ar reikia tokio komplikuoto sprendimo? :)

Na, įvairiai gali būti. Gal kai kam tai ir padės sudėti taškus ant i. 

O tiems, kam nereikia, tai prie komentaro apačioje yra žodis "pranešti", ant kurio paspaudus galite paprašyti ištrinti komentarą. Tik jums reikės parašyti priežastį.

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!