Diofantine lygtis

3x-5y=19,reikia rasti x ir y, zinant, kad x ir y sveiki ir teigiami skaiciai?

Atspėjame / pasinaudoję Euklido algoritmu randame sprendinį (x, y) = (8, 1). Sakykime, kad yra kitas toks sprendinys (x, y). Tuomet

3x - 5y = 19 = 3*8 - 5*1
3*(x-8) - 5*(y-1) = 0
3*(x-8) = 5*(y-1)

Taigi x-8 = 5k, y-1 = 3l, kur k ir l sveiki skaičiai.

15*k = 15*l
k = l

Taigi x-8 = 5k, y-1 = 3k, kur k sveikas skaičius.
Jei k < 0, tai y  < 0. Jei k ≥ 0, tai x > 0 ir y > 0, kaip ir reikia.

Gavome, kad visi sprendiniai yra formos (x, y) = (8 + 5k, 1 + 3k), kur k = 0, 1, 2, ... . Dėl visa ko įstatome į pradinę lygtį ir matome, kad visi tokie (x, y) yra sprendiniai.