eMatematikas Prisijunk Forumas VBE užduotys ONLINE testai

Funkcijų dalmens/sandaugos išvestinės formulės išvedimas


Sveiki,

Taigi kaip matote iš temos pavadinimo, labai reikia funkcijų dalmens bei sandaugos išvestinių formulių išvedimo. Bandžiau išvedinėti pats, bet visiškai nesigaudau, neįsivaizduoju net nuo ko pradėti. Bandžiau ieškoti informacijos internete, bet konkrečiai nieko neradau. Žinau visus sinuso, kosinuso, natūrinio logaritmo išvestinių išvedimus (per [tex]\frac{\Delta y}{\Delta x}[/tex]), bet norimų dalmens/sandaugos nežinau kaip gauti. Galbūt kas nors turite kur nors pasirašę, ar tiesiog galite paaiškinti kaip reikia prie to prieiti?

Ačiū.

Turime funkcijas [tex]u(x)[/tex] ir [tex]v(x)[/tex].
Žinome, jog funkcijos [tex]f(x)[/tex] išvestinė taške [tex]x_0[/tex] yra apibrėžiama taip:
$$f'(x_0)=\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δf(x_0)}{Δx}=\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx}$$
Kai [tex]f(x)=u(x)\cdot v(x)[/tex] tada:
[tex]f(x_0+Δx)=u(x_0+Δx)\cdot v(x_0+Δx)[/tex]
[tex]f(x_0)=u(x_0)\cdot v(x_0)[/tex]
$$f'(x_0)=\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{u(x_0+Δx)\cdot v(x_0+Δx)-u(x_0)\cdot v(x_0)}{Δx}$$
Tuo tarpu:
[tex]Δu(x_0)=u(x_0+Δx)-u(x_0)\iff u(x_0+Δx)=u(x_0)+Δu(x_0)[/tex]
[tex]Δv(x_0)=v(x_0+Δx)-v(x_0)\iff v(x_0+Δx)=v(x_0)+Δv(x_0)[/tex]
Vadinasi:
$$f'(x_0)=\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{\left(u(x_0)+Δu(x_0)\right)\cdot \left(v(x_0)+Δv(x_0)\right)-u(x_0)\cdot v(x_0)}{Δx}$$ Atskliaudę skaitiklyje esantį reiškinį ir sutraukę panašiuosius narius, turime, kad:
$$f'(x_0)=\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{u(x_0)Δv(x_0)+v(x_0)Δu(x_0)+Δu(x_0)Δv(x_0)}{Δx}=\\=\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{u(x_0)Δv(x_0)}{Δx}+\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{v(x_0)Δu(x_0)}{Δx}+\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δu(x_0)Δv(x_0)}{Δx}=\\=u(x_0)\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δv(x_0)}{Δx}+v(x_0)\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δu(x_0)}{Δx}+\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δu(x_0)}{Δx}\cdot \lim\limits_{Δx\to 0}Δv(x_0)$$
[tex]\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δv(x_0)}{Δx}=v'(x_0)[/tex], [tex]\lim\limits_{Δx\to0}\dfrac{Δu(x_0)}{Δx}=u'(x_0)[/tex], [tex]\lim\limits_{Δx\to 0}Δv(x_0)=0[/tex]
Taigi:
$$f'(x_0)=u(x_0)\cdot v'(x_0)+v(x_0)\cdot u'(x_0)+u'(x_0)\cdot 0$$
Vadinasi:
$$\left(u(x_0)v(x_0)\right)'=u'(x_0)\cdot v(x_0)+v'(x_0)\cdot u(x_0)$$

Pamėgink pats įrodyti dalmens išvestinę.

pakeista prieš 6 m

Ačiū Jums už atsakymą. Bandžiau taikant Jūsų pavyzdį padaryti ir dalmens išvedimą, tai priėjau prie tokios vietos ir norėčiau paklausti ar po kol kas gerai darau:

[tex]\frac{vu'-v'u}{\frac{\triangle v(x_{0})v(x_{0})}{\triangle x}+\frac{v(x_{0})v(x_{0})}{\triangle x}}[/tex]

Tai va, dabar jeigu tinkama linkme einu, ką reikėtų šiuo metu daryti, nes kaip ir nelabai kas prastinasi.

Manyčiau esi padaręs kažkokią klaidą, nes iš to ką gavai nelabai išeitų reikiamas atsakymas. Kaip žinia vardiklyje turi gautis [tex]v^2(x)[/tex], nors skaitiklis gautas gerai.

Pateiksiu ir dalmens išvestinės įrodymą:
Kai [tex]f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}[/tex], tai:
[tex]f(x_0)=\dfrac{u(x_0)}{v(x_0)}[/tex] ir [tex]f(x_0+Δx)=\dfrac{u(x_0+Δx)}{v(x_0+Δx)}=\dfrac{u(x_0)+Δu(x_0)}{v(x_0)+Δv(x_0)}[/tex]
Tada:
[tex]f'(x_0)=\left(\dfrac{u(x_0)}{v(x_0)}\right)'=\lim\limits_{Δx\to 0}\dfrac{\frac{u(x_0)+Δu(x_0)}{v(x_0)+Δv(x_0)}-\frac{u(x_0)}{v(x_0)}}{Δx}=\lim\limits_{Δx\to 0}\dfrac{\frac{v(x_0)(u(x_0)+Δu(x_0))-u(x_0)(v(x_0)+Δv(x_0))}{v(x_0)\left(v(x_0)+Δv(x_0)\right)}}{Δx}=\\=\lim\limits_{Δx\to 0}\dfrac{\frac{v(x_0)Δu(x_0)-u(x_0)Δv(x_0)}{v(x_0)\left(v(x_0)+Δv(x_0)\right)}}{Δx}=\lim\limits_{Δx\to 0}\left(\frac{1}{v(x_0)\left(v(x_0)+Δv(x_0)\right)}\cdot \frac{v(x_0)Δu(x_0)-u(x_0)Δv(x_0)}{Δx}\right)=\\=\frac{1}{v(x_0)\left(v(x_0)+0\right)}\cdot \lim\limits_{Δx\to 0}\frac{v(x_0)Δu(x_0)-u(x_0)Δv(x_0)}{Δx}=\frac{1}{v^2(x_0)}\cdot \lim\limits_{Δx\to 0}\left(v(x_0)\frac{Δu(x_0)}{Δx}-u(x_0)\frac{Δv(x_0)}{Δx}\right)=\\=\dfrac{u'(x_0)v(x_0)-v'(x_0)u(x_0)}{v^2(x_0)} [/tex]

Nelabai aiški prasmė išradinėti ratą du kartus. Turėdami sandaugos išvestinę [tex](f(x)g(x))'[/tex] turime kartu ir dalmens išvestinę: [tex]g(x)=\frac{1}{h(x)}[/tex], [tex](f(x)g(x))'=(\frac{f(x)}{h(x)})'[/tex]

pakeista prieš 6 m

Taip, puikiai suprantu, jog dalybą galima pakeisti daugyba iš atvirkštinio dydžio (rodos tą žino ir septintokai), bet problema tame, jog tuomet turime laikyti, jog iš kažkur žinome, kad [tex]\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}[/tex] bei kaip skaičiuojama sudėtinės funkcijos išvestinė.

pakeista prieš 6 m

Nori sudalyvauti šioje temoje ir parašyti savo pranešimą? Prisijungti »