Tomas PRO +4543
Prieš pradedant nagrinėti šią temą skiriu jums užduotį: Apskaičiuokite funkcijos [tex]y=lnx[/tex] grafiko, Ox ašies ir tiesės [tex]x=e[/tex] ribojamą plotą.
Šią užduotį privaloma atlikti naudojantis vien tik mokyklinės matematikos žiniomis. Sakote tai neįmanoma? Skaitykite toliau, ir pamatysite kaip šią užduotį galima atlikti visai paprastai ir be aukštosios matematikos žinių.
Tarkime turime funkciją [tex]y=f(x)[/tex], kuri intervale [tex]x∈[a;b][/tex] yra tolydi, monotoninė bei [tex]f''(x)<0[/tex] (ši funkcija paveikslėlyje yra oranžinė kreivė).
Tokia funkcija turi sau atvirkštinę funkciją: [tex]y=f^{-1}(x)[/tex] šiame intervale (ši funkcija paveikslėlyje yra mėlynos kreivės dalis, kai [tex]x≥0[/tex]).
Taip pat paprastumo dėlei tarkime, jog funkcija [tex]f(x)[/tex] turi būti teigiama intervale [tex]x∈[a;b][/tex], o funkcija [tex]f^{-1}(x)[/tex] intervale [tex]x∈[f(a);f(b)][/tex]. 
Sakykime, jog plotą, kurį riboja funkcija [tex]y=f(x)[/tex] ir tiesės [tex]x=a[/tex], [tex]x=b[/tex], mokame paskaičiuoti. T.y. mokame paskaičiuoti apibrėžtinį integralą: [tex]\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx[/tex]
Nesunkiai galime įsitikinti, jog plotas kurį, riboja funkcijos tiesės [tex]y=a[/tex], [tex]y=b[/tex], funkcijos [tex]f^{-1}(x)[/tex] grafikas ir Oy ašis, dydis lygus taip pat [tex]\int\limits_{a}^{b}{f(x)}dx[/tex].
Dabar panagrinėkime kitą paveikslėlį (rėžių žymėjimas pakeistas):
Tarkime norime paskaičiuoti funkcijos [tex]g(x)=f^{-1}(x)[/tex] ir tiesių [tex]x=a[/tex], [tex]x=b[/tex] ribojamą plotą (violetinė spalva).
Mes tai galime nesunkiai padaryti: Raskime stačiakampio, kurio ilgis: [tex]b-0=b[/tex], o plotis [tex]f^{-1}(b)-0=f^{-1}(b)[/tex] plotą:
[tex]S_{1}=bf^{-1}(b)=bg(b)[/tex]
Randame žalio stačiakampio plotą: [tex]S_{2}=af^{-1}(a)=ag(a)[/tex]
Raudonas plotas pagal jau mums žinomą savybę lygus: [tex]\int\limits_{g(a)}^{g(b)}{f(x)}dx[/tex]
Tuomet mūsų ieškomas plotas lygus: [tex]S=S_{1}-S_{2}-\int\limits_{g(a)}^{g(b)}{f(x)}dx[/tex]
Šitą lygybę galime užrašyti ir taip:
[tex]\int\limits_{a}^{b}{g(x)}dx=bg(b)-ag(a)-\int\limits_{g(a)}^{g(b)}{g^{-1}(x)}dx[/tex]
Dabar grįžkime prie pradžioje pateiktos užduoties:
Pagal pateiktą užduotį gauname, jog turime paskaičiuoti tokį integralą (funkcija [tex]y=lnx[/tex] kerta Ox ašį, kai x=1, todėl integruojame intervale [1;e]):
[tex]\int\limits_{1}^{e}{lnx}dx[/tex]
Kadangi [tex]y''=(lnx)''=-\dfrac{1}{x^2}<0[/tex], kai [tex]x∈[1;e][/tex], vadinasi: [tex]g(x)=lnx[/tex].
Randame [tex]g^{-1}(x)=e^x[/tex]. Pagal formulę:
[tex]\int\limits_{a}^{b}{g(x)}dx=bg(b)-ag(a)-\int\limits_{g(a)}^{g(b)}{g^{-1}(x)}dx[/tex]
gauname:
[tex]\int\limits_{1}^{e}{lnx}dx=elne-1ln1-\int\limits_{ln1}^{lne}{e^x}dx=e-e^x|_{ln1}^{lne}=e-(e-1)=1[/tex]
Ats.: 1
Pamėginkite panašiu principu paskaičiuoti integralą:
[tex]\int\limits_{0}^{1}{arcsinx}dx[/tex]