Funkcijų ribų skaičiavimas (antrasis neapibrėžtumas)

Pamokoje, kurią galite rasti čia: http://www.ematematikas.lt/forumas/funkciju-ribu-skaiciavimas-pirmasis-neapibreztumas-t12260.html, mes aptarėme naują mums dar iki tol nežinomą neapibrėžtumą [tex]\left(\dfrac{0}{0}\right)[/tex]. Dabar tarsi žengsime žingsnį atgal ir vėl grįšime prie mums jau žinomo neapibrėžtumo [tex]\left(\dfrac{\infty}{\infty}\right)[/tex]. Su juo mes tvarkėmės, kai kalbėjome apie skaičių sekų ribas. Dabar šį neapibrėžtumą panagrinėsime funkcijų ribų atveju. Žinoma, labai daug naujo nesužinosite (kas nori prisiminti kaip su šiuo neapibrėžtumu tvarkėmės skaičių sekų ribų atveju, galite pasiskaityti čia: http://www.ematematikas.lt/forumas/skaiciuojame-skaiciu-seku-ribas-pirmasis-neapibreztumas-t12171.html), tačiau aptarsime keletą niuansų, kurie būdingi šiam neapibrėžtumui funkcijų ribų atveju.
Pirmasis dalykas, kuris susijęs ne kiek su pačiu neapibrėžtumu, bet ribos užrašymu yra tas, kad reiktų nemaišyti dviejų užrašų, tokių kaip: [tex]\lim\limits_{x\to \infty}f(x)[/tex] ir [tex]\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)[/tex]. Pamename, jog skaičiuodami skaičių sekų ribas mes rašydavome [tex]\lim\limits_{n\to \infty}a(n)[/tex] ir nors "+" ženklo prie begalybės ženklo mes neprirašydavome, suprasdavome, jog sekos eilės numeris artėja būtent prie teigiamos begalybės. Funkcijų ribų atveju yra šiek tiek kitaip. Rašydami [tex]\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)[/tex], mes turėsime omeny, jog skaičiuojame ribą argumentui artėjant į [tex]+\infty[/tex], o rašydami [tex]\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)[/tex] - artėjant į [tex]-\infty[/tex]. Tuo atveju, kai bus teisinga lygybė: $$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=A,$$mes galėsime apjungti abu šiuos atvejus ir rašyti tiesiog: $$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=A.$$
[tex]\bullet[/tex] Panagrinėkime ribą [tex]\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{6x^5-3x^4+7x+5}{2x^5-5x^3-8x+3}[/tex]:
Prisimindami skaičių sekų ribų skaičiavimą nesunkiai nustatome, kad: $$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{6x^5-3x^4+7x+5}{2x^5-5x^3-8x+3}=\dfrac{6}{2}=3$$ Ar kas pasikeis, jei skaičiuosime ribą [tex]\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{6x^5-3x^4+7x+5}{2x^5-5x^3-8x+3}[/tex]? Akivaizdu, kad ne, taigi gauname, kad: $$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{6x^5-3x^4+7x+5}{2x^5-5x^3-8x+3}=\dfrac{6}{2}=3.$$ Paprastai nagrinėti dviejų atveju nereikia, nors užrašas [tex]x\to\infty[/tex] tarsi tai daryti įpareigoja. Reikėtų žinoti vieną dalyką, jog funkcijos riba kaip skaičių sekos riba vienu metu gali turėti tik vieną ribą, taigi jei mūsų bus prašoma rasti ribą, kai [tex]x\to\infty[/tex] mes suprasime, kad šios funkcijos ribos, kai [tex]x\to+\infty[/tex] ir [tex]x\to-\infty[/tex] yra lygios, taigi tereikia išnagrinėti vieną mums patogiausią atvejį, t.y. paprastai imame [tex]x\to+\infty[/tex].

[tex]\bullet[/tex] Raskime ribą [tex]\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt[3]{x^2+1}}{\sqrt[5]{x^4-1}+\sqrt[4]{x^4-1}}[/tex]:
Pastebime, jog čia prašoma rasti ribą [tex]x[/tex] artėjant būtent į [tex]+\infty[/tex]. Turbūt nesunku pastebėti, kodėl negalime rasti ribos [tex]\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt[3]{x^2+1}}{\sqrt[5]{x^4-1}+\sqrt[4]{x^4-1}}[/tex]. Taip yra dėl to, nes neegzistuoja riba: $$\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt[3]{x^2+1}}{\sqrt[5]{x^4-1}+\sqrt[4]{x^4-1}}.$$ Pastaroji neegzistuoja todėl, jog, kai [tex]x<0[/tex], tai funkcija: $$f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x^3-x}-\sqrt{x^3-1}}{\sqrt[6]{x^6-x-1}+x\sqrt{x}}$$ yra neapibrėžta. Skaitiklį ir vardiklį padaliję iš [tex]x[/tex], gauname:
$$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}+\frac{\sqrt[3]{x^2+1}}{x}}{\frac{\sqrt[5]{x^4-1}}{x}+\frac{\sqrt[4]{x^4-1}}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}+\sqrt[3]{\frac{x^2+1}{x^3}}}{\sqrt[5]{\frac{x^4-1}{x^5}}+\sqrt[4]{\frac{x^4-1}{x^4}}}=\dfrac{1+0}{0+1}=1$$
[tex]\bullet[/tex] Raskime ribą [tex]\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+9}+|x|}{\sqrt[5]{x^3+8}-|x|}[/tex]:
Vėlei turėdami galvoje, jog abi ribos [tex]\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+9}+|x|}{\sqrt[5]{x^3+8}-|x|}[/tex] ir [tex]\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+9}+|x|}{\sqrt[5]{x^3+8}-|x|}[/tex] turėtų būti lygios, galime paskaičiuoti tik vieną iš jų, tačiau, jog tikrai įsitikintume, galime paskaičiuoti ir abi ribas:
Pagal modulio apibrėžtį: $$|x|=\begin{cases}x,\space kai\space x≥0 \\ -x,\space kai\space x<0 \end{cases}$$ Vadinasi: $$\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+9}+|x|}{\sqrt[5]{x^3+8}-|x|}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+9}+(-x)}{\sqrt[5]{x^3+8}-(-x)}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+9}-x}{\sqrt[5]{x^3+8}+x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\frac{\sqrt{x^2+9}}{x}-1}{\frac{\sqrt[5]{x^3+8}}{x}+1}$$ Dabar reikia būti atidiems, nes kai [tex]x<0[/tex], tai [tex]\dfrac{\sqrt{x^2+9}}{x}=-\sqrt{\dfrac{x^2+9}{x^2}}[/tex], o ne [tex]\dfrac{\sqrt{x^2+9}}{x}=\sqrt{\dfrac{x^2+9}{x^2}}[/tex]. Nelyginio laipsnio šaknies atveju niekas nepasikeičia, taigi turime: $$\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+9}+|x|}{\sqrt[5]{x^3+8}-|x|}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{\frac{x^2+9}{x^2}}-1}{\sqrt[5]{\frac{x^3+8}{x^5}}+1}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{-\sqrt{\frac{x^2+9}{x^2}}-1}{\sqrt[5]{\frac{x^3+8}{x^5}}+1}=\\-\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{1+\frac{9}{x^2}}+1}{\sqrt[5]{\frac{1}{x^2}+\frac{8}{x^5}}+1}=-\dfrac{1+1}{0+1}=-2$$ Paskaičiuojame ribą atveju [tex]x\to+\infty[/tex]:
$$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+9}+|x|}{\sqrt[5]{x^3+8}-|x|}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+9}+x}{\sqrt[5]{x^3+8}-x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{\frac{x^2+9}{x^2}}+1}{\sqrt[5]{\frac{x^3+8}{x^5}}-1}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{\frac{x^2+9}{x^2}}+1}{\sqrt[5]{\frac{x^3+8}{x^5}}-1}=\\=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{1+\frac{9}{x^2}}+1}{\sqrt[5]{\frac{1}{x^2}+\frac{8}{x^5}}-1}=\dfrac{1+1}{0-1}=-2$$ Taigi: $$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+9}+|x|}{\sqrt[5]{x^3+8}-|x|}=-2$$
[tex]\bullet[/tex] Pabaigai paskaičiuokime kiek įdomesnę ribą:
$$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{(x+1)^{10}+(x+2)^{10}+...+(x+100)^{10}}{x^{10}+10^{10}}$$Skaitiklį ir vardiklį dalijame iš [tex]x^{10}[/tex], gauname:
$$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\frac{(x+1)^{10}}{x^{10}}+\frac{(x+2)^{10}}{x^{10}}+...+\frac{(x+100)^{10}}{x^{10}}}{\frac{x^{10}}{x^{10}}+\frac{10^{10}}{x^{10}}}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\left(\frac{x+1}{x}\right)^{10}+\left(\frac{x+2}{x}\right)^{10}+...+\left(\frac{x+100}{x}\right)^{10}}{1+\frac{10^{10}}{x^{10}}}=\\\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{10}+\left(1+\frac{2}{x}\right)^{10}+...+\left(1+\frac{100}{x}\right)^{10}}{1+\frac{10^{10}}{x^{10}}}=\dfrac{\underbrace{1+1+...+1}_{100}}{1+0}=\dfrac{100}{1}=100$$ Čia mes jau nebeskaičiavome dviejų ribų atskirai, kadangi akivaizdu, jog jos yra lygios. Tiek šioje temoje. Galbūt nieko daug naujo nesužinojote, bet tikiuosi kažkam ši tema bus naudinga.

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-11-12

0

peržiūros 121

atsakymai 0

aktyvumas 20 d

 

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!