Funkcijų ribų skaičiavimas (pirmasis neapibrėžtumas)

Pamokoje, kurią galite rasti čia: http://www.ematematikas.lt/forumas/ivadas-i-funkciju-ribu-skaiciavima-t12202.html, mes susipažinome su funkcijos ribos sąvoka. Tolimesnėse pamokų serijose, mes išmoksime paskaičiuoti funkcijų ribas esant įvairiausiems neapibrėžtumams. Kai kurie iš neapibrėžtumų mums jau bus pažįstami, nes su jais būsime susidūrę skaičiuodami skaičių sekų ribas, o kai kurie bus nauji. Šioje pamokoje panagrinėsime būtent naują ir mums dar nežinomą apibrėžtumą: [tex]\left(\dfrac{0}{0}\right)[/tex], kuris iš pirmo žvilgsnio labai panašus į mums jau žinomą [tex]\left(\dfrac{\infty}{\infty}\right)[/tex]. Neapibrėžtumą [tex]\left(\dfrac{0}{0}\right)[/tex] gausime tada, kai skaičiuosime tokio pavidalo ribas:
[tex]\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}[/tex], o [tex]f(a)=g(a)=0[/tex].
Vienas iš tokių ribų pavyzdžių galėtų būti: [tex]\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x^3+3x+4}{x^3-4x-3}[/tex].
Kai [tex]x=-1[/tex], tiek trupmenos skaitiklis, tiek vardiklis yra lygus 0, taigi turime neapibrėžtumą [tex]\left(\dfrac{0}{0}\right)[/tex].
Kaip reikia panaikinti šį neapibrėžtumą? Vienareikšmiško atsakymo į šį klausimą nėra, nes viskas priklauso nuo to, kokios funkcijos yra trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Tačiau mes pamėginsime susiskirstyti visus galimus atvejus ir nurodyti kiekvienam jų sprendimo kelią:
Kai skaičiuojame ribą: [tex]\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}[/tex], kur [tex]f(a)=g(a)=0[/tex], galimi tokie funkcijos [tex]\dfrac{f(x)}{g(x)}[/tex] atvejai:

1) Abi funkcijos [tex]f(x)[/tex] ir [tex]g(x)[/tex] yra polinominės.
2) Bent viena iš funkcijų [tex]f(x)[/tex] ir [tex]g(x)[/tex] yra iracionalioji (funkcijos išraiškoje yra šaknų), tačiau visų šaknų pošakniuose yra polinomai. Taip pat reiškinyje negali būti 3) atvejyje paminėtų funkcijų.
3) Bent vienos iš funkcijų [tex]f(x)[/tex] ir [tex]g(x)[/tex] išraiškoje yra trigonometrinių, rodiklinių ar logaritminių funkcijų.

Turbūt nesunku nustatyti, jog riba [tex]\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x^3+3x+4}{x^3-4x-3}[/tex] priklauso pirmajam atvejui. Dabar trumpai apibrėžkime taisykles, kuriomis remiantis naikinsime neapibrėžtumą [tex]\left(\dfrac{0}{0}\right)[/tex] kiekvienu iš atvejų:

1) Polinomus [tex]f(x)[/tex] ir [tex]g(x)[/tex] išskaidome dauginamaisiais ir suprastiname trupmeną [tex]\dfrac{f(x)}{g(x)}[/tex]. Patikriname, ar išliko neapibrėžtumas. Jei jo neliko, tai tiesiog paskaičiuojame po suprastinimo likusio reiškinio [tex]\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}[/tex] reikšmę taške, kuriame riba yra skaičiuojama.
2) Naikiname iracionalumą trupmenos vardiklyje arba skaitiklyje (tam naudojame mums žinomas kvadratų skirtumo ar kubų skirtumo formules)
3) Šiuo atveju remiamės šiomis pagrindinėmis ribomis:
[tex]\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin \alpha x}{\alpha x}=\alpha,\space \alpha≠0[/tex];
[tex]\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\log_a (1+\beta x)}{\beta x}=\log_a e=\dfrac{1}{\ln a}, \space a>0,\space a≠1,\space \beta≠0[/tex];
[tex]\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln (1+\alpha x)}{\alpha x}=1,\space \alpha≠0[/tex];
[tex]\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{a^{\beta x}-1}{\beta x}=\ln a,\space a>0,\space a≠1, \space \beta≠0[/tex];
Jei reikia prieš taikant šias formules pertvarkome duotą reiškinį naudodamiesi logaritminių, rodiklinių ar trigonometrinių funkcijų savybėmis.

Toliau kaip pavyzdžius išnagrinėsime keletą ribų:

[tex]\bullet[/tex] Paskaičiuokime, kam lygi riba [tex]\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}[/tex]:
Ši riba priklauso pirmajam atvejui, taigi reiškinius [tex]x^2-4[/tex] ir [tex]x^2-x-2[/tex] turime išskaidyti dauginamaisiais. Vienas iš būdų tai padaryti yra skaidomą polinomą prisilyginti 0, išspręsti lygtį, o tada pasinaudoti tokia taisykle:

Jei duotas polinomas [tex]P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n[/tex], tai išskaidytas dauginamaisiais jis bus lygus: [tex]a_0(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\cdot ...\cdot(x-x_{n-1})(x-x_n)[/tex], kur [tex]x_i,\space i=\overline{1,..n}[/tex] - yra lygties [tex]P_n(x)=0[/tex] sprendiniai.

Tačiau tam, kad polinomą užrašytume dviejų reiškinių sandauga pakanka žinoti ir vieną lygties [tex]P_n(x)=0[/tex] sprendinį, kuris tiesiog lygus taško, kuriame skaičiuojama riba, abscisės reikšmei:

Jei duotas polinomas [tex]P_n(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_n[/tex] ir žinomas vienas lygties [tex]P_n(x)=0[/tex] sprendinys [tex]x_1[/tex], tada egzistuoja toks polinomas [tex]P_{n-1}(x)[/tex], jog [tex]P_n(x)=(x-x_1)\cdot P_{n-1}(x)[/tex], kur [tex]P_{n-1}(x)=a_{20}x^{n-1}+a_{21}x^{n-2}+...+a_{2\space n-2}x+a_{2\space n-1}[/tex]. Nežinomus koeficientus [tex]a_{2k},\space k=\overline{0..n-1}[/tex] surandame taikydami neapibrėžtinių koeficientų metodą.

Šiuo atveju nesunku nustatyti, kad [tex]x^2-4=(x-2)(x+2)[/tex]. Tuo tarpu vardiklyje esantį polinomą prisilyginę 0, gauname du sprendinius [tex]x_1=-1,\space x=2[/tex], vadinasi: [tex]x^2-x-2=(x+1)(x-2)[/tex]. Taip gauname:
$$\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}=\left(\dfrac{0}{0}\right)=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x+1)(x-2)}=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x+2}{x+1}=\dfrac{2+2}{2+1}=\dfrac{4}{3}$$
[tex]\bullet[/tex] Paskaičiuokime ribą [tex]\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{x^3+3x+4}{x^3-4x-3}[/tex]
Kadangi turime neapibrėžtumą [tex]\left(\dfrac{0}{0}\right)[/tex], tai žinome abiejų polinomų (esančio skaitiklyje ir vardiklyje) vieną iš šaknų, t.y. [tex]x=-1[/tex]. Kadangi spręsti kubines lygtis bus per sudėtinga, tai taikysime antrąjį metodą:
[tex]x^3+3x+4=(x+1)(a_{20}x^2+a_{21}x+a_{22})[/tex]
Atskliaudžiame dešinėje lygybės pusėje esantį reiškinį ir jam suteikiame kairėje lygybės pusėje esančio reiškinio pavidalą:
$$(x+1)(a_{20}x^2+a_{21}x+a_{22})=a_{20}x^3+a_{21}x^2+a_{22}x+a_{20}x^2+a_{21}x+a_{22}=\\a_{20}x^3+(a_{21}+a_{20})x^2+(a_{21}+a_{22})x+a_{22}$$ Dabar sulyginame koeficientus ir gauname sistemą:
$$\begin{cases}a_{20}=1 \\ a_{21}+a_{20}=0\\ a_{21}+a_{22}=3\\a_{22}=4 \end{cases}\implies \begin{cases}a_{20}=1 \\ a_{21}+1=0\\ a_{21}+4=3\\a_{22}=4 \end{cases}\implies \begin{cases}a_{20}=1 \\ a_{21}=-1\\a_{22}=4 \end{cases}$$
Vadinasi: [tex]x^3+3x+4=(x+1)(x^2-x+4)[/tex]
Lygiai tokiu pačiu principu gauname: [tex]x^3-4x-3=(x+1)(x^2-x-3)[/tex]. Vadinasi:
$$\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{x^3+3x+4}{x^3-4x-3}=\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{(x+1)(x^2-x+4)}{(x+1)(x^2-x-3)}=\\\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{x^2-x+4}{x^2-x-3}=\dfrac{(-1)^2-(-1)+4}{(-1)^2-(-1)-3}=\dfrac{6}{-1}=-6$$ Tiesa neretai galima sutikti kitokį antrojo skaidymosi dauginamaisiais metodo variantą. Jis vadinamas dalyba kampu metodu, tačiau, čia mes jo neaptarsime, apie jį galite pasiskaityti matematiniuose vadovėliuose ar visagaliame internete.

[tex]\bullet[/tex] Paskaičiuokime ribą [tex]\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}[/tex].
Akivaizdu, jog ši riba atitinka antrąjį ribų su neapibrėžtumu [tex]\left(\dfrac{0}{0}\right)[/tex] variantą, nes čia turime šaknų. Kaip ir parašyta nurodyme, naikinsime iracionaliumą (tai darysime skaitiklyje). Šiuo atveju tam kuo puikiausiai tinka kvadratų skirtumo formulė:
$$\dfrac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}=\dfrac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}\cdot \dfrac{\sqrt{x-1}+2}{\sqrt{x-1}+2}=\dfrac{(\sqrt{x-1})^2-2^2}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)}=\dfrac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)}.$$ Vadinasi:
$$\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}=\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)}=\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+2}=\dfrac{1}{\sqrt{5-1}+2}=\dfrac{1}{4}.$$
[tex]\bullet[/tex] Paskaičiuokime ribą [tex]\lim\limits_{x\to 8}\dfrac{\sqrt{1+x}-3}{\sqrt[3]{x}-2}[/tex].
Šiuo atveju iracionalumas yra tiek skaitiklyje, tiek vardiklyje. Pasirinktinai jį panaikinkime arba skaitiklyje, arba vardiklyje (renkame skaitiklį, tačiau vardiklyje jokiu būdu nesudauginame skliaustų):
$$\dfrac{\sqrt{1+x}-3}{\sqrt[3]{x}-2}=\dfrac{\sqrt{1+x}-3}{\sqrt[3]{x}-2}\cdot \dfrac{\sqrt{1+x}+3}{\sqrt{1+x}+3}=\dfrac{x-8}{(\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt{1+x}+3)}$$ Dabar ignoruodami naująjį dauginamąjį vardiklyje, t.y. [tex]\sqrt{1+x}+3[/tex] naikiname iracionalumą vardiklyje: Šį kartą mums tiks kubų skirtumo formulė, taigi:
$$\dfrac{x-8}{(\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt{1+x}+3)}=\dfrac{x-8}{(\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt{1+x}+3)}\cdot \dfrac{(\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4}{(\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4}=\\\dfrac{(x-8)((\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4)}{(x-8)(\sqrt{1+x}+3)}.$$ Dabar galime užrašyti, kad:
$$\lim\limits_{x\to 8}\dfrac{\sqrt{1+x}-3}{\sqrt[3]{x}-2}=\lim\limits_{x\to 8}\dfrac{(x-8)((\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4)}{(x-8)(\sqrt{1+x}+3)}=\\\lim\limits_{x\to 8}\dfrac{(\sqrt[3]{x})^2+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt{1+x}+3}=\dfrac{(\sqrt[3]{8})^2+2\sqrt[3]{8}+4}{\sqrt{1+8}+3}=2$$
[tex]\bullet[/tex] Paskaičiuokie ribą [tex]\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x}{x}[/tex]:
Žinoma akys iškart krypsta į ribų lentelę, kurioje duota tokia riba [tex]\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin \alpha x}{\alpha x}=1[/tex]. Iš tiesų būtent šia riba mes ir remsimės skaičiuodami duotąją ribą. Tačiau akivaizdu, jog ribos šiek tiek skiriasi. Ką šiuo atveju galime padaryti? Žinodami, jog pastovų daugiklį galima iškelti prieš ribos ženklą, rašome:
$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x}{x}=\lim\limits_{x\to 0}5\cdot \dfrac{\sin 5x}{5x}=5\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x}{5x}=5\cdot 1=5$$
[tex]\bullet[/tex] Paskaičiuokie ribą [tex]\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan 7x}{3x}[/tex]:
Pirmiausiai [tex]\tan 7x[/tex] pakeiskime į [tex]\dfrac{\sin 7x}{\cos 7x}[/tex]. Tada:
$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan 7x}{3x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\frac{\sin 7x}{\cos 7x}}{3x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 7x}{3x\cos 7x}=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 7x}{x\cos 7x}=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin 7x}{x}\cdot \dfrac{1}{\cos x}\right)=\\=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 7x}{x}\cdot \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 7x}{x}\cdot 1=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 7x}{x}$$ Gavome tokio pat pavidalo ribą kaip ir pirmąkart, taigi gauname, kad: [tex]\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 7x}{x}=7[/tex]. Todėl:
$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan 7x}{3x}=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 7x}{x}=\dfrac{1}{3}\cdot 7=\dfrac{7}{3}$$
[tex]\bullet[/tex] Paskaičiuokime paskutinę ribą [tex]\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}[/tex]:
Žinome, kad: [tex]\sin^2 \alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}[/tex]. Iš čia:
[tex]1-\cos 2\alpha=2\sin^2 \alpha[/tex]. Kai [tex]\alpha=\dfrac{x}{2}[/tex], tai:
[tex]1-\cos x=2\sin^2 \dfrac{x}{2}[/tex], vadinasi:
$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2}=2\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{\sin \frac{x}{2}\cdot \sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}\cdot \frac{x}{2}}=\\\dfrac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\cdot \dfrac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\dfrac{1}{2}$$