Funkcijų ribų skaičiavimas taikant ekvivalenčias nykstančias funkcijas

Sveiki, analizuoju ribų skaičiavimą netaikant Lopitalio taisyklės (kai kuriais atvejais to gali reikalauti uždavinių sąlygos). Su viena trigonometrine iškilo problemų.

[tex]\lim\limits_{x \to 0}\frac{1 - cos^3(x)}{x*sin(2x))}[/tex]

Pagal ekvivalenčių nykstančių funkcijų taisykles 1 - cos(x) ~ x²/2, o sin(x) ~ x, kai x -> 0.

Kaip pritaikyti pirmąją iš paminėtų taisyklių, jeigu funkcija pakelta kubu?

Kaip suprastinai (1 + cosx + cos²x)?

[tex](1+cosx+cos^2x)[/tex] artėja prie 3, kai x artėja prie 0:
[tex]1+cos0+cos^20=1+1+1=3[/tex]

Kartais būna, kad tarpusavyje pradeda maišytis sin ir cos funkcijų reikšmės. Vienu momentu atrodo, kad nieko nesupranti, o pažvelgti kitą akimirką ir net nustembi, kaip viskas buvo paprasta.

Gal galėtumėte padėti su dar viena riba?
[tex]\lim\limits_{x \to 0}\frac{tg2x-sin2x}{x^3}[/tex]

Pradžioje greičiausiai reikėtų tg2x pakeisti sin2x / cos2x, o toliau – neaišku, gale visada lieku su dalyba iš nulio.

pritaikyk lopitalio taisykle:

[tex]\lim _{x\to \:0}\left(\frac{2\tan \left(x\right)\sec ^2\left(x\right)-\sin \left(2x\right)}{3x^2}\right) = \lim _{x\to \:0}\left(\frac{2\tan \left(x\right)-\sin \left(2x\right)\cos ^2\left(x\right)}{3x^2\cos ^2\left(x\right)}\right)       
=\lim _{x\to \:0}\left(\frac{2\sec ^2\left(x\right)-2\cos ^2\left(x\right)\cos \left(2x\right)+\sin ^2\left(2x\right)}{3\left(2x\cos ^2\left(x\right)-x^2\sin \left(2x\right)\right)}\right) =\lim _{x\to \:0}\left(\frac{-\left(2\cos \left(2x\right)\cos ^4\left(x\right)-\sin ^2\left(2x\right)\cos ^2\left(x\right)-2\right)}{3x\cos ^2\left(x\right)\left(2\cos ^2\left(x\right)-x\sin \left(2x\right)\right)}\right)= \lim _{x\to \:0}\left(\frac{4\cos ^4\left(x\right)\sin \left(2x\right)+8\cos ^3\left(x\right)\sin \left(x\right)\cos \left(2x\right)+2\cos ^2\left(x\right)\sin \left(4x\right)-\sin ^3\left(2x\right)}{3\left(x^2\sin ^2\left(2x\right)-2x^2\cos ^2\left(x\right)\cos \left(2x\right)-6x\cos ^2\left(x\right)\sin \left(2x\right)+2\cos ^4\left(x\right)\right)}\right) [/tex]

dabar gali isitatyti 0 i galutine israiska ir gausi atsakyma 0.

Su Lopitalio taisykle dažniausiai būtų paprasčiausia skaičiuoti, bet šiuo atveju jos negalima naudoti, nes norima patikrinti kitas ribų skaičiavimo žinias. Pagal WolframAlpha atsakymas turėtų būti 4. Prisegu nuotrauką, kurioje yra užuominos, kokiomis taisyklėmis prasminga vadovautis mano uždaviniuose: .

[tex]\displaystyle{\lim_{x \to 0}}\frac{tg2x-sin2x}{x^3}=\displaystyle{\lim_{x\to 0}}\frac{tg2x(1-cos2x)}{x^3}=\displaystyle{\lim_{x \to 0}}\frac{tg2x}{x}\cdot\displaystyle{\lim_{x \to 0}}\frac{1-cos2x}{x^2}=\displaystyle{\lim_{x \to 0}}\frac{2x}{x}\cdot\displaystyle{\lim_{x \to 0}}\frac{\frac{1}{2}(2x)^2}{x^2}=2\cdot 2=4[/tex].

Tomai, pas ji riba arteja link 0.

Pataisiau, tiesiog ribą kopijavau iš kitur ir palikau :)

As blogai nurasiau salyga... galvojau ten kvadratu kelta... kas per nesamone tas latex.