Geometrinis uždavinys iš olimpiados, gan įdomus.

lygiašonio trikampio pusiaukampinė, nubrėžta iš viršūnės, yra perpus trumpesnė už kampo prie pagrindo pusiaukampinę. Apskaičiuokite trikampio kampus. Sėkmės sprendime, čia šiaip pamąstymui įmečiau, paskui galėsiu atsakymą įmest jei sunkiai seksis :D

Pasipaičiau ΔABC žr. brėžinį.

Žinome, kad AE = 2*BD, prilyginame AB = BC = 1, tada AC = k (keik kartų pagrindas ilgesnis už kraštinę).
Pagal pusiaukampinių ilgio formules sudarome lygtis:
AE² = AB*AC - BC*(AC/(AC+BC))*BC(AB/(AC+AB)) = k - k/(1+k)²
BD² = AB*BC - AC/2*AC/2 = 1 - k²/4
susilyginam šias lygtis pagal duotą pusiaukampinių ilgių santykį (nepamirštam, jog čia ilgių kvadratai):
k - k/(1+k)² = 4*(1 - k²/4) --> k*(1 - 1/(1+k)²) = 4 - k² --> k*((1+k)² - 1)/(1+k)² = (2-k)*(2+k) --> k*(1+k+1)*(1+k-1) = (1+k)²*(2-k)*(2+k) --> k*k*(k+2) = (1+k)²*(2-k)*(2+k) --> k² = (1 + 2k + k²)(2-k) --> k² = 2 + 4k + 2k² - k - 2k² - k³ --> k³ + k² - 3k - 2 = 0
Išsprendus kūbinę lygtį gauname 3 šaknis:
k1 ≈ 1.6180339887499
k2 ≈ -0.6180339887499
k3 = -2
Pagal brėžinį matome, kad cosA = BD/2AB = k/2 --> arccos(k/2) = A = C = 36
Attinkamai B = 180 - 36 - 36 = 108

Manyčiau, kad yra būdas ir be kūbinės lygties išsiversti, tik jis šiuo metu jis į galvą neatėjo :)