eMatematikas Prisijunk Forumas VBE užduotys ONLINE testai

Idomus klausymas apie iracionaliuosius skaicius


Ar egzistiuja tokie iracionalieji skaiciai a ir b, (didesnes uz 0), kad a^b gautume racion. skaic,:D

Egzistuoja.  Kad "pajaustum", jog tai tiesa, siūlau performuluoti klausimą. Dabar klausi, ar yra tokie iracionalūs skaičiai a, b > 0 ir racionalus c, kad a^b = c. Tą patį galima paklausti kitaip: ar yra tokie iracionalūs skaičiai a, b > 0 ir racionalus c, kad c^(1/b) = a, o kadangi 1/b iracionalus tada ir tik tada, kai b iracionalus, tai klausimas tampa toks: ar yra tokie iracionalūs skaičiai a, b > 0 ir racionalus c, kad c^b = a. Ar keliant racionalų skaičių iracionaliu laipsniu galime gauti iracionalų skaičių? Manau, pakankamai natūralu, kad galime.

O dabar griežtas įrodymas: žinome, kad yra toks b > 0, kad sqrt(2)^b = 3 [sqrt - kvadratinė šaknis]. Konkrečiai, b = log_sqrt(2) 3, bet tai nesvarbu, o svarbu, kad toks b egzistuoja. sqrt(2) yra iracionalus, 3 yra racionalus skaičius, taigi tereikia parodyti, kad b yra iracionalus. Tarkime atvirkščiai, t.y. kad b = m/n, kur m ir n natūriniai skaičiai. Tuomet (sqrt(2)^b)^(2m) = 3^(2m), tai yra 2^n =3^(2m) [nes sqrt(2) = 2^(1/2)]. Tačiau kairėje yra lyginis skaičius 2^n, o dešinėje nelyginis 3^(2m) - prieštara. Taigi b iracionalus - to ir reikėjo.

aciu:/:D

Nori sudalyvauti šioje temoje ir parašyti savo pranešimą? Prisijungti »