Įdomus sąryšis tarp kampų (keturių kampų teorema)

Benagrinėdamas vieną problemą netyčiomis aptikau įdomų sąryšį, kurį pavadinau Keturių kampų teorema. Štai kaip formuluoju šią teoremą:

Jei plokštumoje duota tiesė [tex]m[/tex] sudaro su pasvirosios projekcija kampą [tex]\alpha[/tex], su pačia pasvirąja kampą [tex]\beta[/tex], o tarp pasvirosios ir statmens į plokštumą yra kampas [tex]\varphi[/tex] (kampai [tex]\alpha[/tex] ir [tex]\beta[/tex] pažymėti taip, jog jei tiesė [tex]m[/tex] eitų per pasvirosios ir plokštumos sankirtos tašką R, o taškus P ir P' sujungtume su vienu iš tiesės m tašku (tik ne R) S, tai abu šie kampai būtų atitinkamai trikampių RP'S ir RPS vidiniai kampai), tada teisinga lygybė [tex]\sin\varphi\cos\alpha=\cos\beta[/tex]

Pateikiu galimą šios teoremos įrodymą:

Galime užrašyti, kad:
[tex]\vec{d}=\vec{b}+\vec{c}[/tex]
[tex]\vec{a}\cdot \vec{d}=\vec{a}(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}[/tex]
Kadangi [tex]\vec{a}⊥\vec{c}[/tex], tai:
[tex]\vec{a}\cdot \vec{d}=\vec{a}(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+0=\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos\alpha[/tex]          (1)
Taip galime užrašyti, kad:
[tex]\vec{a}\cdot \vec{d}=|\vec{a}|\cdot |\vec{d}|\cos \beta[/tex]          (2)
Pasinaudodami (1) ir (2) lygybėmis užrašome:
[tex]|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos\alpha=|\vec{a}|\cdot |\vec{d}|\cos \beta\implies |\vec{b}|\cdot \cos\alpha=|\vec{d}|\cos \beta\implies \dfrac{|\vec{b}|}{|\vec{d}|}\cdot \cos\alpha=\cos \beta\implies \sin\varphi\cdot \cos\alpha=\cos \beta[/tex]