Integralinis skaičiavimas. Vidutinės reikšmės teorema. Įrodymas

Turiu tokį uždavinuką:
Įrodykite, kad

[tex](b-a)f(a)<\int_{a}^{b}f(x)dx<(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}[/tex]

kai f(x) intervale [a,b] didėja ir grafikas yra iškilas žemyn.

Numanau, jog reikės pritaikyti vidutinės reikšmės teoremą, bet nežinau kurioj vietoj.

Gal kas duotų užuominų apie įrodymo scenarijų?

Paskutinį kartą atnaujinta 2015-03-26

0

peržiūros 713

atsakymai 1

aktyvumas 8 mėn

http://i633.photobucket.com/albums/uu51/labasrasa/pav%20iskila%20kreive.png

Kadangi funkcija yra didėjanti ir iškila žemyn intervale [a;b], tai visame intervale ji yra žemiau tiesės AB,
jungiančios taškus A(a; f(a)) ir B(b; f(b)).

Tiesės AB lygtis  $y= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot(x-a)+f(a)$. Vadinasi, visoje atkarpoje [a;b] galioja nelygybė
$$ f(a) ≤  f(x)≤ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot(x-a)+f(a). $$

Pagal integralų savybes tokia pati nelygybė galioja ir funkcijų integralams:

$$ \int_a^b f(a)dx ≤ \int_a^b f(x)dx ≤ \int_a^b (\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \cdot(x-a)+f(a))dx .$$

Suintegravę gauname:

$$ f(a) \cdot (b -a) ≤ \int_a^b f(x)dx ≤ \frac{f(a)+ f(b)}{2} \cdot (b-a)$$

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!