eMatematikas.lt Naujienos Kategorijos Nauja tema Nariai Prisijungti Registruotis
       

Kategorijos

Naudingos temos

Įrodymas, kad seka artėja prie 0.

Kategorija: Aukštoji matematika

292

Įrodykite, kad Xn artėja prie 0.

a) Xn=1/n!                              n->∞
b) Xn=(-1)^n * 0,999^n        n->∞

0

1. Tarkime, kad [tex]\epsilon >0[/tex] yra bet koks teigiamas skaičius. Tada [tex]\left | x_n-0 \right |=\left | \frac{1}{n!}-0 \right |=\frac{1}{n!}\leqslant \frac{1}{n} <\epsilon[/tex], kai [tex]n>\frac{1}{\epsilon }[/tex].
Taigi, turime, kad [tex]\forall \epsilon >0~\exists N:=\left [\frac{1}{\epsilon } \right ]+1\in \mathbb{N}\left ( \forall n>N \Rightarrow \left | \frac{1}{n!} -0\right |<\epsilon \right )[/tex]

Įrodyta.

2. Tarkime, kad [tex]\epsilon >0[/tex] yra bet koks teigiamas skaičius. Tada [tex]\left | x_n-0 \right |=\left | (-1)^n \cdot 0,999^n-0 \right |=0,999^n <\epsilon[/tex], kai [tex]n>\log_{0,999}\epsilon[/tex].
Taigi, turime, kad [tex]\forall \epsilon >0~\exists N:=\left [\log_{0,999}\epsilon \right ]+1\in \mathbb{N}\left ( \forall n>N \Rightarrow \left | (-1)^n \cdot 0,999^n-0 \right |<\epsilon \right )[/tex]

Įrodyta.

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-09-09

1

Norinti suprasti įrodymą, reikia paplušėti,
1. reikia suprasti logines operacijas (konjunkciją, disjunkciją, inplikaciją, ekvivalentumą), ir žinoti jų savybes,
2. reikia suprasti simbolį ∀ ir žinoti jo savybes,
3. reikia suprasti simbolį ∃ ir žinoti jo savybes,
4. reikia suprasti, kaip simboliai ∀ ir ∃ „veikia“ vienas kito atžvilgiu,
5. reikia žinoti, kaip galima apjungti į sintezę punktus 1. ir 4. kartu, vienu metu.

Tada bus galimybė adekvačiai suvokti sekos ribos apibrėžimą bei kaip galima juo remtis įrodant sekos konvergavimą, divergavimą. Tai yra vienas iš paprasčiausių apibrėžimų matematinėje analizėje. Kiti apibrėžimai, tokie, kaip funkcijos ribos, tolygios funkcijos taške, tolygiai tolygios funkcijos, diferencijuojamos funkcijos ir pan. yra dar sudėtingesni. Todėl būtina išmokti 1. – 5. punktus kuo geriau. Juos suvokus ir supratus, matematiką mokytis bus lengviau, prasmingiau ir įdomiau.

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-09-09

1

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!