eMatematikas.lt Naujienos Kategorijos Nauja tema Nariai Prisijungti Registruotis
       

Kategorijos

Naudingos temos

Kaip išmokti įrodyti teiginius.

Kategorija: Įvairios temos

peržiūros 380

http://users.metu.edu.tr/serge/courses/111-2011/textbook-math111.pdf
Internete jau keli metai šmėžuoja leidinys apie įrodymus. Kiek teko ieškoti lietuviškų analogų, tai visi man pasirodė prastesni, nei šis. Čia matysite daug išsamių įrodymo žingsnių paaiškinimų. Manau, kad tai yra pagrindinė priežastis, dėl kurios nusprendžiau dabar čia parašyti.

Smagaus ir prasmingo skaitymo.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-03-08

0

Būtų gerai konkretizuoti, kokiai grupei žmonių šis leidinys būtų tinkamas skaityti. Kodėl žmogus, mokykloje daug negirdėjęs apie matematinius įrodymus, turėtų šį leidinį ryžtis skaityti? Ar teiginių logika nebūtų per staigus šuolis nuo mokyklininės matematikos? Kokie moksleiviai yra ją pajėgūs suprasti ir kokie nepajėgūs? Šaltinis yra anglų kalba, kas sako, jog jis prieinamas greičiausiai jau nemažai turėjusiems reikalų su sudėtingesne nei mokykline matematika. Mano manymu, matematiniai įrodymai yra verti mokymosi tik tam pasiruošusiam protui.

Siūlau dėl įdomumo pamėginti atsakyti, ar nurodytas šaltinis būtų pakankamas įrodyti šias 5 - 6 klasėje mokomus teiginius:

• Jei stačiakampio kraštinių ilgiai yra lygūs $a$ ir $b$, tai jo plotas lygus $ab$
• Jei stačiakampio kraštinių ilgiai yra lygūs $a$ ir $b$, tai jo perimetras lygus $2(a+b)$
• Trikampio kampų suma yra lygi $180^o$

Šiuos teiginius pateikiau ne šiaip sau, o todėl, kad jie atspindi skirtingas samprotavimo rūšis.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-03-09

0

Kai kurie negeri žmonės padarė dirbtinę distinkciją tarp mokyklinės matematikos, universitetinės matematikos, ir matematikos. Tegul tai žino kiekvienas žmogus ant šios žemės.
MATEMATIKA YRA VIENA.
Tai, kas mokykloje vadinama, kaip matematika (mokyklinė matematika) yra nesusipratimas. Supraskite, ten ne matematika. Net nežinau, kaip taikliai pervadinti mokyklinę matematiką.

Labai svarbu tai įsisąmoninti. Labai svarbu matematikos vaidmenį mokykloje identifikuoti, kaip žiaurų (galbūt tyčinį) nesusipratimą. O tiesa štai kokia: mokykloje matematikos nebėra jau 20+ metų. Vyresni žmonės pasakytų tiksliau, kiek jau laiko matematikos mokykloje nebėra.

Aš neįsivaizduoju, kaip galima dorai nagrinėti matematiką ignoruojant tai, kad egzistuoja teisingumo lentelės. Tad kai mathfux manęs paklausia „ar teiginių logika nebūtų per staigus šuolis nuo mokyklinės matematikos?“, tai neišvengiamai kiekvienas mano vietoje esantis jaustųsi sumišęs. Toks klausimas yra tikros pinklės! Ir kaip čia man išsivartyti dabar?...
Pasirodo, aš turiu akcentuoti minėtąjį nesusipratimą ir tada klausimo autoriui parodyti, kad jo klausimas yra nekorektiškas.

Matematikos mokykloje ir taip nėra. Tad šią knygą gali skaityti visi, kas moka angliškai. Raidinius reiškinius galima išmokti/suprasti skaitant šią knygą.

Manau, kad svarbiausias dalykas – tai turėti kantrybės persimokyti iš naujo (tik šįkart teisingai) ir turėti tam laiko. Čia persimokyti bus sunkiausia, bet įmanoma!

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-03-09

0

Toks ir buvo mano tikslas - užduoti provokuojančius klausimus, skatinančius pažiūrėti už esamo supratimo ribų. Juos užduodu todėl, kad pats dalį atsakymų perskaičiau mokslinėje literatūroje ir jais įsitikinau stebėdamas mokinių mokymosi ypatumus.

Aš pats sutinku, kad samprotavimo nebuvimas mokyklinėje matematikoje yra tragedija. Tragedija todėl, kad matematika be samprotavimo negali būti laikoma matematika. Kaip pavyzdį besidomintiems galėčiau pateikti faktą, kad Talis iš Mileto, gyvenęs 600 metų prieš mūsų erą, yra laikomas pirmuoju matematiku. Ir nors dar vienas ar keli tūkstantmečiai prieš Talį pasaulyje buvo žinomi būdai skaičiuoti nupjautinių piramidžių sienų plotas, taikyti Pitagoro teoremą, skaičiuoti kvadratinių šaknų artinius ir daugybė kitų dalykų, šitai nebuvo laikoma matematika. Šie dalykai tebuvo tik iš kartos į kartą perduodamos žinios, tačiau šios žinios nebuvo grindžiamos griežtu įrodymu. Talis laikomas pirmuoju matematiku, nes jis laikomas pirmuoju žmogu, formulavusiu matematinius teiginius juos griežtai pagrįsdamas. Didelė, jei ne didžioji dalis 5-8 klasės mokyklinės matematikos kurso susideda iš šio matematiko teiginių.

0

Klausdamas ,,ar teiginių logika nebūtų per staigus šuolis nuo mokyklinės matematikos?" nėra skirtas kažką suklaidinti. Jis skirtas paskatinti diskusiją, kur būtų matyti ir daugiau nuomonių, nei tik ta, kad mokyklinėje matematikoje reika grąžinti įrodymus ir negali būti dėl to jokių kalbų. Pradėsiu nuo šių pastebėjimų:

1) Mokyklinė matematika, kurioje nėra įrodymų, tampa riboto produktyvumo veikla, nes tarpusavyje nesusijusių taisyklių mokymasis yra nesuderintas su smegenų veiklos procesais (atmintis perkraunama)

2) Mokyklinė matematika, kurioje griežtai pateikiami įrodymai, daugumai tampa taip pat riboto produktyvumo veikla, nes įrodymų mokymasis taip pat nėra suderintas su smegenų veiklos procesais.

Kiekviena prielaida galbūt nėra visiškai teisinga. Joms reikėtų kokių nors jas patvirtinančių nešališkų pavydžių. Dėl pirmos prielaidos turėtų būti aišku: mūsų šalyje mokyklinės matematikos mokymo sistema tokia ir yra ir ji pagal 2009 metų PISA apklausą yra įvertinta blogiau už Europos Sajungos vidurkį. Šiame forume taip pat pastebiu vienpusišką įsitikinimą dėl pirmos prielaidos ignoruojant antrąją.

Dėl antros prielaidos mano manymu reika inicijuoti rimtą diskusiją. Pateiksiu kelis pavydžius parodančius, kad įrodymų mokymasis mokyklinėje matematikoje gali būti neproduktyvi veikla:

• Mokytojų atsiliepimai. Pavyzdžiui dvi matematikos mokytojos (viena iš jų - buvusi Vilniaus licėjaus mokytoja) fb grupėje ,,Matematikos Mokymas" daijasi savo patirtimi:

Pirma mokytoja.Dabartinė programa įkandama pusei vidutinės klasės (remiuosi VBE rezultatais), o kadaise 2-3 iš klasės suprasdavo. Aš matau išeitį tik diferencijuojant, gabesni turėtų mokytis atskiroje klasėje ir pagal kitokią programą.
Antra mokytoja.Tikrai taip. Aš taip pat pastebiu šitą reiškinį. Mano mokymosi mokykloje metais vos 2-3 vaikai iš klasės apskritai kažką suprasdavo. Tai buvo Kolmogorovo, Pogorelovo vadovėliai. Įrodymai, išvedimai. Bet 90 procentų tik nusirašinėjo. Be to įgijo matematikos fobiją ir neapykantą matematikai. Kita vertus [dabar] mes taip supaprastinę programas tikrai skriaudžiame didelę dalį vaikų.

Šiame straipsnyje randu tokią ištrauką:
Apie 1960 metus Amerikos mokyklose pradėta mokyti aibių teorija pagrįsta matematika. Nepraėjus ir dešimtmečiui sukilo reformoms prieštaraujanti kai kurių matematikų, mokytojų ir tėvų banga. Skelbiamos pasekmės apie moksleivių nesugebėjimą įsisavinti ne tik abstrakčias sąvokas, bet nesugebėjimą atlikti ir elementarius aritmetikos veiksmus. Tokia reakcija matyt buvo pagrįsta, nes pakeitus programas nebuvo pasirūpinta mokytojų kvalifikacijos kėlimu, naujų vadovėlių rašimu ir „naujosios matematikos“ populiarinimu visuomenėje.

Būtent atkreipdamas dėmesį būtent į tai, kad antroji prielaida dėl įrodymų mokymosi neproduktyvumo yra nemažiau svarbi už pirmąją prielaidą dėl įrodymų būtinumo, pateikiau klausimus pasvarstymui, kaip 5-6 klasės mokiniams galėtų būti aiškinami mano išvardyti teiginiai. Teiginių logika jiems per sudėtinga. Tačiau mokant vien taisykles, apie 5 - 7 klasę žymiai nukrinta moksleivių noras mokytis matematiką.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-03-09

0

1) Mokyklinė matematika, kurioje nėra įrodymų, tampa riboto produktyvumo veikla, nes tarpusavyje nesusijusių taisyklių mokymasis yra nesuderintas su smegenų veiklos procesais (atmintis perkraunama)

Matematika ir šiaip reikalauja nemažai atminties. Apibrėžimai ir teoremų formuluotės yra tai, ką reikia prisiminti tiksliai. Žinome, kad apibrėžimų ir teoremų yra labai daug. Aš net jau ir neįtraukiu teoremų įrodymo. Kita vertus, gerai išmokus apibrėžimus, įrodinėti taps paprasčiau.

Be įrodymų matematika netenka savo prasmės. Šis beprasmiškumas atsispindi liaudies pasakymuose, pavyzdžiui: „aš vis dar laukiu, kol galėsiu pritaikyti diskriminantus gyvenime“.

Mokykloje juk nepasakoja, kas yra diskriminantas, kokiems matematiniams objektams (jei gerai išsireiškiau) apibrėžiamas diskriminantas ir kokia jo prasmė. Mokiniai todėl ir nežino. Jiems belieka įsiminti ir tiesiog mechaniškai naudoti tuos diskriminantus uždaviniuose ar egzamine. Todėl natūralu tikėtis, kad mokiniai atmes matematiką dėl klaidingų susiformuotų nusistatymų.

Bet jeigu mokiniams paaiškintume iš kur seka diskriminantas ir kas tai per charakteristika, tada atsirastų vilties mokiniui susivokti, be to, suprasti, kad jo užduotis ir pareiga yra suvokti pilnai, kaip čia yra su tais polinomais ir diskriminantais. Tai gali pareikalauti iš mokinio daug pastangų, nes tokie dalykai yra sudėtingesni, nei lygtis 2x = 3. Kitaip sakant, teorija apie diskriminantus yra galimybė ugdyti savo mąstymą labiau. Mąstymas, mano supratimu, čia ir yra esmė.

Tai suvokus, neturėtų ir toliau skambėti liaudies folklioras apie amžiną diskriminanto pritaikymo laukimą, po kurio savaime seka apatijos ir patyčių dvasia, kuri netiesiogiai čia sako, kad nėra, kur taikyti diskriminanto gyvenime... Mat liaudžiai matematikos mokymasis yra kažkas, kas nėra gyvenimas t.y. šalia gyvenimo. Ši šizofrenija daug ką pasako ir paaiškina. Čia svarbiausia tai užčiuopti. Tad viena pirmųjų užduočių mokytojams yra ir paaiškinti liaudžiai (mokiniams), kad matematikos mokymasis irgi yra gyvenimo dalis, o ne kažkas anapus,  ir reikalai turėtų pasitaisyti.

Tai tik vienas pavyzdys. Galbūt yra žmonių, kurie vis laukia, kur pritaikys lyginumą. Tai jie vis lauks ir lauks. Tai šiek tiek juokinga. Mat jie nesuprato, kad lyginumas yra savybė tam tikro abstraktaus objekto/struktūros su savo logikos taisyklėmis, kurią ir reikėjo būnant mokykloje suvokti ir padaryti tai iki galo  t.y. mąstymą lavinti, kad galima būtų eiti prie sudėtingesnių dalykų ir taip tobulėti.

Dar yra populiaru, žiūriu, šnekėti apie diferencialines lygtis dalinėmis išvestinėmis ir vis laukti, kol studijas baigęs žmogus galės pritaikyti jas gyvenime. Pastarasis pavyzdys rodo tai, kad ne tik mokiniai, bet ir studentai nesupranta, ką jie veikia mokymo įstaigose. Tai va taip ir laukia jie sau... ir tokių laukiančiųjų eilės ilgėja. Kaltas jų tingumas ir kvaitulys. Mažiau gert ir rūkyt reikia.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-03-09

0

Matyti, kad mano keliami klausimai nėra atsakomi. Aš siūlau kalbėti apie konkrečius pavyzdžius iš mokymo, tokius kaip tie mano parodyti, kad išsiaiškintume, kokio mokymo moksleiviams reika. Jei apie šiuos pavyzdžius/klausimus nebus svarstoma, formuosis vienpusis požiūris, atribotas nuo dabartinės keblios situacijos su matematikos mokymu ir mokymusi.

Matematika ir šiaip reikalauja nemažai atminties. Apibrėžimai ir teoremų formuluotės yra tai, ką reikia prisiminti tiksliai.

Galbūt kiekvieno iš mūsų mąstysena veikia skirtingai, tačiau man matematika niekada nebuvo daug atminties reikalaujančiu mokslu. Matematiką laikau mokslu, kuris skiriasi nuo kitų labiausiai tuo, kad matematinis mąstymas reikalauja daug tvarkingesnio atminties panaudojimo, nei kiti mokslai. Pavyzdžiui aš galiu iškalti ,,statinis prieš 30 laipsnių kampą lygus pusei įžambinės", tačiau šios taisyklės ligi 8 klasės baigimo neprisimindavau. Vietoj to prisimindavau vaizdinį, kuriame yra į dvi lygias dalis dalinamas lygiakraštis trikampis. Tai tik vienas iš daugybės pavyzdžių, parodančių, kad matematinius sugebėjimus lemia ne atminties sugebėjimai, o gebėjimas padaryti įsimenamą informaciją prasminga.
Bet jeigu mokiniams paaiškintume iš kur seka diskriminantas ir kas tai per charakteristika...

Matematikos turinys turi būti atrenkamas kruopščiai. Diskriminanto naudojimas ne kvadratiniuose daugianariuose priklauso plačiam matematikos išmanymui. Reikėtų atkreipti dėmesį, kad platus matematikos išmanymas tampa neprieinamu neturint gilaus išmanymo. Klausimų kėlimas, kodėl viena ar kita taisyklė galioja ir yra to gilaus išmanymo dalimi.
Tad viena pirmųjų užduočių mokytojams yra ir paaiškinti liaudžiai (mokiniams), kad matematikos mokymasis irgi yra gyvenimo dalis, o ne kažkas anapus,  ir reikalai turėtų pasitaisyti.

Tokiu paaiškinimu niekas nepatikės, kol matematikos turinys netaps tokiu, iš kurio matyti, kad veikla, kai mokomasi matematikos, yra prasminga. Kalnų taisyklių mokymosi nelaikau prasmingu. Prasmingu laikau loginių pagrindų ir idėjų, kuriomis paremtos įvairios taisyklės, mokymąsi ir studijavimą.

Mano atsakymai į visas tris citatas rodo, kad reikėtų susirūpinti matematikos turiniu, pateikiamu mokiniams. Tai negali būti matematika be samprotavimų. Iš kitos pusės tai negali būti matematika, apsiribojanti apibrėžimų ir formuluočių mokymųsi nežinant būdų, kaip šią informaciją įsisavinti ir ja pasinaudoti.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-03-10

0

Į jūsų klausimus aš neatsakau dėl to, nes man nepriimtini jūsų šie klausimai ir jų užslėptas ugdymo turinys. Man neatrodo, kad šiuolaikinis diskursas ir kryptis yra ta, kuria reikia eiti. Man atrodo, kad visos tos pastangos su tarptautiniais tyrimais, citavimais, diskusijos, neduos norimų vaisių, o tik tušti svarstymai, vilkinimas.  Man atrodo, kad išradinėjamas dviratis. Taigi, galite suprasti, kad mano požiūris šia tema yra koncervatyvus.

Pacitavote mokytojų pasisakymus. Bet juk tai labai prastos kokybės pasisakymai. Kaip jie padeda susigaudyti, kokio mokymo mokiniams reikia? Kad 2-3 mokiniai suprasdavo - tas visiems ir taip aišku. O kad dabar pusė mokinių supranta matematiką mokykloje, tereiškia, kad  pusei mokinių kažkaip pavyksta kažką padaryti nežiūrint į apibrėžimus, ignoruojant aksiomas, teoremas. Va čia tai tikra mistika. Bet aš ją išsklaidysiu, pasakydamas, kad mokiniai sprendžia nesuvokdami ir padaro teisingai, nes daugybę kartų kartojo tą patį. Savo laiku aš irgi taip sugebėdavau.

Tačiau iš mokytojų pasisakymų nesunkiai išryškėja, kad jos dalijasi nenuoširdžiai, jos žino, ką reikia susakyti, ir ko nereikia pasakyti. Tai rimta problema. Korumpuoti pedagogai.

Kalbėti apie tai, kokio mokymo mokiniams reikia yra pasaka be galo. Juk šis klausimas keliamas po to, kai tėvai kažkokie ten sukilo, kad mokykloje moko matematikos taip, kaip priklauso. Štai ir viskas. Matyt neegzistuos alternatyvaus būdo, kaip mokyti matematiką be parodijų. Todėl tai ir matau kaip pasaką be galo, kuri nuves į fragmentaciją ir niekį iš kurio, vargu, ar sugebėsite visi grįžti.

Aš manau, kad skyriau ir taip per daug dėmesio šiems mokytojų pasisakymams ir ne tik. Siūlau grįžti prie leidinio, kurį čia visiems pateikiau, nes jau galima buvo ir pamiršti nuo ko prasidėjo ši forumo tema. Skaitykite jį ir mokykitės. Aktualu būtų, jeigu čia kas nors pasidalintumėte ir kitais šaltiniais įrodinėjimo tema.

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!