Kaip skaičiuoti teigiamų skaičių faktorialus

Natūraliojo skaičiaus n faktorialas n! yra visų natūraliųjų skaičių nuo 1 iki n (imtinai) sandauga. t.y.

[tex]n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n[/tex].
Skaičiuojant faktorialus, galioja susitarimas, kad 0! = 1.

Akivaizdu, kad
[tex]n!=n\cdot (n-1)!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)!=...[/tex]

Pateikiau natūraliojo skaičiaus n faktorialo apibrėžimą. Dabar faktorialą nagrinėsiu šiek tiek giliau.

Jeigu natūralusis skaičius yra lyginis t.y. 2n, tai tokio skaičiaus dvigubas faktorialas (2n)!! yra lygus

[tex]\left ( 2n \right )!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot ...(2n-4)\cdot (2n-2)\cdot (2n)[/tex].
Galime pastebėti, kad

[tex]\left ( 2n \right )!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot ...(2n-4)\cdot (2n-2)\cdot (2n)=\underset{n}{\underbrace{2\cdot ...\cdot 2}}\cdot 1\cdot 2\cdot ...\cdot n=2^n\cdot n![/tex]
Nelyginio natūraliojo skaičiaus 2n + 1 dvigubasis faktorialas yra lygus skaičiui

[tex]\left ( 2n+1 \right )!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)[/tex].
Irgi galime pastebėti, kad

[tex]\left ( 2n+1 \right )!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)=
\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)\cdot (2n)\cdot (2n+2)}{\underset{n+1}{\underbrace{2\cdot ...\cdot 2}}\cdot 1\cdot 2\cdot ...\cdot n\cdot (n+1)}=
\frac{(2n+2)!}{2^{n+1}(n+1)!}[/tex].

Dar galime įžvelgti, kad

[tex]n!=(n-1)!!\cdot n!![/tex].
Ši lygybė galioja kai n yra lyginis, ir kai n yra nelyginis.

Niekas nedraudžia sukurti ir trigubą ar septingubą faktorialus, bet čia aš to nedarysiu.

Kaip skaičiuoti bet kokio teigiamo skaičiaus x faktorialą?
Konverguojantis netiesioginis integralas, priklausąs nuo parametro x, yra funkcija, kuri priklauso nuo x, kurios išraiška yra tokia:

[tex]\Gamma (x)=\int_{0}^{+\infty }t^{x-1}e^{-t}dt[/tex], . x > 0.
Tai vadinamoji Gama funkcija, jos argumentas x yra teigiamas realusis skaičius. Taigi norint rasti bet kokio teigiamo skaičiaus faktorialą, reikia skaičiuoti šį integralą.

Pavyzdžiui, tarkime, kad norime rasti skaičiaus 1,236 faktorialą 1,236!, tada mums teks skaičiuoti integralą
[tex]\Gamma (2,236)=\int_{0}^{+\infty }t^{1,236}e^{-t}dt=(1,236)![/tex].

Ne su visomis x reikšmėmis pavyksta išspręsti tokį integralą.
Kai kuriuos atvejus pateiksiu komentaruose.

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-04-15

peržiūros 185

atsakymai 0

aktyvumas 5 mėn

 

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!