Kombinatorika. Simonos vėriniai.

Simona veria vėrinį iš tokių detalių: X, M, N, H, P.
Vėrinio pavyzdys: XMNH.
Kiek skirtingų vėrinių gali padaryti Simona, panaudodama:
a) 4 skirtingas detales?
b) 4 detales, iš kurių 2 yra vienodos?
c) 6 bet kokia detales?
d) 6 detales, iš kurių 3 yra vienodos.

Na šiuo atveju reiktų susitarimo ar detalių išdėstymas vėrinyje laikomas svarbiu, ar ne. Galime išspręsti šį uždavinį abiem variantais:
1) Kai svarbi tvarka:
a) [tex]A_{5}^{4}=120[/tex]
b) Tarkime dvi vienodos yra XX likusias 2 renkamės iš {M,N,H,P}. Jas pasirinkti galimybių: [tex]C_4^2[/tex], tuomet vėrinių, kur du X yra:
[tex]\dfrac{4!}{2!}\cdot C_{4}^2[/tex]. Kadangi vienodus du parinkti yra 5 galimybės, tai viso vėrinių: [tex]\dfrac{4!}{2!}\cdot C_{4}^2\cdot 5[/tex]
c) [tex]\overline{A_{5}^{6}}=5^6[/tex]
d) Tarkime trys vienodos XXX, tada likusias 3 renkamės iš {M,N,H,P}. Jas pasirinkti galimybių: [tex]C_{4}^3[/tex], tuomet vėrinių, kur trys X yra:
[tex]\dfrac{6!}{3!}\cdot C_{4}^3[/tex]. Kadangi vienodus tris parinkti yra 5 galimybės, tai viso vėrinių: [tex]\dfrac{6!}{3!}\cdot C_{4}^3\cdot 5[/tex]

2) Kai nesvarbi tvarka:
a) [tex]C_{5}^{4}=5[/tex]
b) Tarkime dvi vienodos XX. Tada likusių dviejų detalių derinį parinkti yra galimybių: [tex]C_{4}^{2}[/tex] (kartu tai ir derinių iš 4 detalių, kuriuose yra du X skaičius). Du vienodus parinkti yra 5 galimybės, tai viso vėrinių: [tex]C_{4}^{2}\cdot 5[/tex]
c) [tex]\overline{C_{5}^{6}}[/tex]
d) Tarkime trys vienodos XXX. Tada likusias 3 detales renkamės iš 4, tai padaryti yra galimybių [tex]C_{4}^{3}[/tex] (kartu tai ir derinių iš 4 detalių, kur trys XXX skaičius). Kadangi tris vienodus parinkti yra 5 galimybės, tai viso vėrinių: [tex]C_{4}^{3}\cdot 5[/tex]

Na tikiuosi viskas teisingai :)

b) Ar gerai suprantu, kad [tex]\frac{4!}{2!}[/tex] - būdai, kai du X gali užimti 2 vietas iš 4, o [tex]C_4^2[/tex] - dvi detalės iš 4 {M, N, H, P} ?

Tarkime dviem detalėms XX atrinkome porą. Tuomet su keturiomis detalėmis iš kurių dvi vienodos rinkinių kai tvarka svarbi galima sudaryti (kėliniai su pasikartojimais): [tex]\frac{4!}{2!}[/tex]. Bet šis skaičius randa vėrinių skaičių tik su viena pora, kurią parinkom iš likusių 4, tai padauginam iš skaičiaus kiek iš viso tų porų yra: deriniai iš 4 po 2. Tokia mano logika.

Puiki logika :)

Man tavo spėjimai kaip aš skaičiavau davė ir kitą šio uždavinio sprendimo idėją
Pirmo atvejo b) dalyje galime pirmiau skaičiuoti kiek yra galimybių dviems X užimti pozicijas iš 4 galimų (skaičiuojame derinius iš 4 po 2, nes eilės tvarka nesvarbi, juk apkeitus du vienodus elementus vietomis gauname tą patį vėrinį) ir padauginame iš gretinio, kuris skaičiuojamas iš 4 likusių elementų po 2, tiek galimybių yra užimti likusias dvi pozicijas, kai tvarka svarbi. Ir žinoma galiausiai dauginame iš 5. Panašiai ir d) dalis.