eMatematikas.lt Naujienos Kategorijos Nauja tema Nariai Prisijungti Registruotis
       

Kategorijos

Naudingos temos

Kombinatorikos uždavinys, susijęs su akordais bei pianino klavišais

Kategorija: Tikimybių teorija

206

Sveiki, sprendžiau kombinatorikos uždavinius ir susidūriau su gana neįprastu uždaviniu. Uždavinio sąlyga:

Kiek skirtingų akordų galima gauti paspaudus 10 pasirinktų pianino klavišų, jeigu kiekvieną akordą gali sudaryti nuo trijų iki dešimties garsų ?

Nors apie pianinus bei akordus nieko neišmanau, bet bandžiau mąstyti, kad tikriausiai visi pianino klavišai skleidžia skirtingus garsus, taigi, jei, pavyzdžiui akordą sudarytų 10 garsų, tai reikštų, kad visi 10 pianino klavišų būtų pasirinkti po vieną kartą, tai vien iš jų būdų sudaryti akordą būtų $ 10! $, tačiau taip skaičiuojant atsakymas gautųsi labai didelis. Būčiau labai dėkingas už pagalbą.

Knygoje pateiktas atsakymas: $968$.

0

Žinai, muzikoje esu irgi neprofesonalas, bet kaip suprantu iš tavo pateikto atsakymo, tai sąlyga pateikta kiek klaidingai. Nepatinka šita vieta:

paspaudus 10 pasirinktų pianino klavišų
Taip išeina, jog reikalauja, jog būtų nuspausti 10 klavišų vienu metu, nors vėliau jau sakoma:
jeigu kiekvieną akordą gali sudaryti nuo trijų iki dešimties garsų
  Tokia tiesa, jog paprastai pianinas turi daugiau nei 10 klavišų, taigi perskaitęs iki tos vietos
paspaudus 10 pasirinktų pianino klavišų
galvojau, jog reikės parinkti 10 klavišų renkantis iš visų pianine esančių klavišų (jų rodos yra 88, internete taip radau), bet vėliau šią versiją teko atmesti.
Taigi pataisyta sąlyga turėtų skambėti taip:
Kiek skirtingų akordų galima gauti renkantis iš 10 konkrečių pianino klavišų, jeigu kiekvieną akordą gali sudaryti nuo trijų iki dešimties garsų ?

1

Pagal pataisytą sąlyga, manyčiau, kad jei visi klavišai skleidžia skirtingus garsus, tai kiekvienam akordui rinktumės nuo 3 iki 10 klavišų, o skaičiuočiau taip:

[tex]A_{10}^{3} + A_{10}^{4} + A_{10}^{5} + A_{10}^{6} + A_{10}^{7} + A_{10}^{8} + A_{10}^{9} + A_{10}^{10}[/tex]

Tačiau taip skaičiuojant atsakymas gaunasi be galo didelis, o jei vietoj gretinių skaičiuojam su deriniais, tai gaunasi:

[tex]C_{10}^{3} + C_{10}^{4} + C_{10}^{5} + C_{10}^{6} + C_{10}^{7} + C_{10}^{8} + C_{10}^{9} + C_{10}^{10} = 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 968[/tex]

Kodėl šiuo atveju tvarka nėra svarbi ? Be to, dėkoju už sąlygos pataisymą, knyga versta iš rusų kalbos, tikriausiai dėl to galėjo atsirasti netikslumų.

0

Kodėl šiuo atveju tvarka nėra svarbi ?
Na suprask, jog akordas gaunamas nuspaudus tuos klavišus vienu metu, taigi tarkime grojant akordą su trimis pasirinktais klavišais ir gausime vieną akordą [tex](C_3^3)[/tex], o ne 6 [tex](A_3^3)[/tex]. T.y. čia netgi keista kalbėti apie tvarką, kai klavišai nuspaudžiami ne vienas po kito, o tiesiog kartu.

1

Na suprask, jog akordas gaunamas nuspaudus tuos klavišus vienu metu, taigi tarkime grojant akordą su trimis pasirinktais klavišais ir gausime vieną akordą [tex](C_3^3)[/tex], o ne 6 [tex](A_3^3)[/tex]. T.y. čia netgi keista kalbėti apie tvarką, kai klavišai nuspaudžiami ne vienas po kito, o tiesiog kartu.

Iš tiesų nežinojau, kad gauti akordui klavišai spaudžiami vienu metu... Tada viskas logiška ir net nekyla klausimų apie tvarką. Labai dėkoju už pagalbą.

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!