Naujienos Kategorijos Nariai Formulynas Nauja tema Prisijungti
       

Kvadratų sumų išreiškimas formule

Sveiki, kaip matoma paveikslėliuose žemiau, yra žinoma, kad suma [tex]∑_{k=0}^nk[/tex] gali būti išreikšta formule [tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex]. Kaip formule išreiškiama [tex]k^2[/tex] suma? Nors ir pateiktas pavyzdys, tačiau jo pačios pradžios nesuprantu.

https://i.imgur.com/uyfvFyA.png
https://i.imgur.com/1Yvji5v.png

0

peržiūros 104

atsakymai 4

aktyvumas 5 d

Pirmoje vertikalėje (prie sienos kampo) n kubelių. Ją supančiame vertikaliame sluoksnyje (n-1 aukštų po tris kubelius) 3(n-1), po to (kur po 5 kubelius) 5(n-2), ir t.t.
S=n+3(n-1)+ 5(n-2)+7(n-3)+...+(2k-1)(n-(k-1))+...+(2n-1)1
Trumpąja forma
[tex]S=\sum(2k-1)((n+1)-k)[/tex]
Čia ir toliau sumavimo indeksas kinta nuo 1 iki n.
[tex]S=(n+1)\sum (2k-1)-2\sum k^{2}+\sum k[/tex]
Kadangi
[tex]\sum (2k-1)=n^{2},\sum k^{2}=S, \sum k=\frac{n(n+1)}{2}[/tex]
tai gauname lygtį
[tex]S=(n+1)n^{2}-2S+\frac{n(n+1)}{2}[/tex]
Išsprendę lygtį S atžvilgiu, gausime
[tex]S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

1

Vis tiek niekaip pačios pradžios nepagaunu. Pagal pateiktą 3D maketą įsivaizduoju, kad kvadratų piramidės nematomos sienos atrodo šitaip:
https://i.imgur.com/Xo2wajC.jpg

Tai tavo minėtoji vertikalė būtų ši, taip?
https://i.imgur.com/dEN3MJI.jpg

Tada, ką vadiname vertikaliu sluoksniu?

0

Pačiam viršuj 1 kubelis, po to (aukštu žemiau) 1+3 kubeliai, po to 1+3+5, po to 1+3+5+7, ir t.t.
Tokių "rinkinių" yra n. Iš viso vienetų yra n (yra kiekviename rinkiny), trejetų yra (n-1) (nes atsiranda tik nuo antro rinkinio), penketų yra (n-2), ir t.t.

1

Ačiū! Galiausiai pavyko suprasti, kaip skaičiuojama.

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!