Sokolovas PRO +1046
5) NAMO GRĮŽTA TIK VIENETAI
Mes vieniši atsiiktinumo
galių akivaizdoje...
Tiksliau- "vidutiniškai" vienetai. Bet...Apie viską iš eilės.
UŽDAVINYS: Lentynoje trys knygos. Mokinys jas paėmė, vėliau vėl grąžino į lentyną.
Atsitiktinis dydis X- skaičius knygų, atsidūrusių ankstesnėse vietose. Rasime atsitiktinio dydžio vidurkį MX.
Kita pateiktis: Trys ponai, atėję į restoraną, paliko išsiblaškiusiam rūbininkui savo skrybėles, kurias šis supainiojo. Atsitiktinis dydis X- ponų, atgavusių savo skrybėles, skaičius. Rasime MX, t.y. kiek vidutiniškai ponų tokiomis sąlygomis atgauna savo skrybėles.
Kitaip tariant- kiek vidutiniškai elementų, prieš tai "išmėtytų", "išbarstytų", GRĮŽTA NAMO?
SPRENDIMAS: Remsimės (žr pirmąją dalį) modeliu A.
Atsitiktinis dydis X gali įgyti reikšmes 0, 1, 3.
Šių reikšmių įgijimo tikimybės
P(X=0)=[tex]\frac{2}{6}[/tex] (visiško pasiklydimo tikimybė)
P(X=1)=[tex]\frac{3}{6}[/tex]
P(X=3)=[tex]\frac{1}{6}[/tex]
Atsitiktinio dydžio vidurkis
MX=[tex]\frac{2}{6}\cdot 0+\frac{3}{6}\cdot 1+\frac{1}{6}\cdot 3=1[/tex]
Taigi, "namo grįžta vienetai". Na, vidutiniškai...
Aišku, šį rezultatą mes gavome trijų elementų aibei. Tačiau...
Dabar mes pagrįsime žiauriai įdomų, triuškinantį teiginį!
NORS IR MILIJONAS PONŲ PALIKTŲ SAVO SKRYBĖLES, SAVO SKRYBĖLĘ VIDUTINIŠKAI ATGAUTŲ TIK VIENAS PONAS ! Jei nors ir milijonas laiškų bus padrikai adresuota, vidutiniškai tik vienas laiškas pasieks reikiamą adresatą. Jeigu...Mes iš tiesų vieniši atsitiktinumų galios akivaizdoje ! Mes- Žemės, o gal ir Kosmoso, dulkės...
Taigi, vidutiniškai tik pavieniai...vidutiniškai tik vienetai grįžta ten, iš kur iškeliavo. Visi nori grįžt ("kaip radom, taip palikim"), bet grįžta vienetai !!!
ĮRODYMAS: Imkime modelį su laiškais (kiti nagrinėjami analogiškai)
Įvesime atsitiktinį dydį X - skaičius laiškų, pasiekusių reikiamus adresatus.
Tegu yra parašyta N laiškų. Įvesime N atsitiktinių dydžių [tex]\xi _{k}[/tex], kuris įgyja reikšmę 1, jei k-sis laiškas pasiekė reikiamą adresatą (t.y. jei k-jį laišką ištiko laimė), ir įgyja reikšmę 0, jei k-sis laiškas pasiklydo (t.y. jei k-jį laišką ištiko tragedija).
Kadangi bet kokio laiško laimės tikimybė [tex]p=\frac{1}{N}[/tex], tai
[tex]M\xi _{k}=\frac{1}{N}\cdot 1+\frac{N-1}{N}\cdot 0=\frac{1}{N}[/tex]
Dabar prisiminsime, jog atsitiktinių dydžių (taip pat ir priklausomų) sumos vidurkis lygus jų vidurkių sumai.
Kadangi "laimingų" laiškų skaičius
X=[tex]\xi _{1}+\xi _{2}+...+\xi _{N}[/tex]
tai MX= [tex]N\cdot M\xi _{k}=N\cdot \frac{1}{N}=1.[/tex]
Štai ir įrodėme, jog vidutiniškai namo grįžta (juos suranda, juos prisimena...) vienetai !