Lempa

Lygiai vidurnaktį vilkas įjungė lempą. Po dešimties minučių išjungė. Dar po penkių minučių vėl įjungė, po dar dviejų su puse išjungė ir taip junginėjo lempą vis dvigubai trumpindamas laiko intervalą tarp gretimų perjungimų. Kokioje būsenoje bus lempa pusę pirmos nakties?

Lempa degs arba nedegs, bet greičiausiai bus perdegusi ;D nepilna sąlyga kad atsakyti ;]
po ilgų apmastymų susidariau tokią nuomonę

Bet juk lempa turi degti arba nedegti (čia matematika - perdegimo galimybę atmeskime). Aprašytas procesas irgi įmanomas. Tai kur esmė?

Dar galima paklausti: o jei viskas vyktų taip pat, tik iš pradžių (t.y. vidurnaktį) lempa būtų įšjungta, o ne įjungta. Ar tokiu atveju jos galutinė būsena būtų kita nei pirmu atveju?

kaip suprantu gaunasi nykstamoji geometrinė progresija...
b1 = 10
q = 0,5
S = 10 / (1-0,5) = 20
reiškia po 20 min baigsis visi jo junginėjimai, o mums reikia žinoti kas bus po 30min
hmm, reikia sužinoti n, kelintas bus paskutinis jungimas ir pagal jį mėgint suprast kas vyks, manyčiau turės reikšmės ar tai lyginis ar nelyginis skaičius

O šitas uždavinys vien apie matematiką? ;]

Kaip Vitalijus parašė, jeigu tai nykstama geometrinė progresija (t.y. laiko tarpai tarp perjungimų) tai ji daugiau 20 min nesudarys, tai taip išeina kad vilkas su savo lempa užstrigs 00:20 laike ;D
bet juk nepaisant to kad matematiškai laiką galime dalinti kaip ir kiek tinkami, fiziškai taip neišeina, ar ne? tai manyčiau ;] kad vilkas su savo persijunginėjimais perkops 00:20 barjerą, ir kadangi tuo metu junginėjimų dažnis bus labai didelis tai vaidensis kad lemputė dega ;]

kita vertus jeigu junginėjimai pasidaro dažnesni už srovės dažnį tai lemputė nebeturėtų degti. tik nesu tuo tikras ;]

bet turbūt ne ten sliekų ieškau ;D

tai degs ta lemputė ar ne? ;]

mmm?

lauksim kol AncientMariner pasirodys ;)

Aš šį paradoksą aiškinčiau taip: jis yra žaidimas apibrėžimais. Jei sau prieš nosį turime lempą, galime iš karto pasakyti, ar ji šviečia, ar ne. Tačiau jei nagrinėjame situaciją matematiškai, turime apsibrėžti, kas visgi yra lempos būsena. Natūralu, kad tai bus kažkokia funkcija nuo laiko B(t) (t.y. galime pasirinkti laiko momentą t = t_0 ir tuomet B(t_0) reikšmė lygi lempos būsenai tuo laiko momementu; tikslumo dėlei laikykime, kad jei lempa yra perjungiama būtent laiko momentu t = t_0, tai B(t_0) rodo lempos būseną po perjungimo). Kol kas viskas gerai. Paradokso esmė ta, kad funkcija B neatitinka tam tikrų savybių, kokias ji neva turi atitikti. Tačiau kokias savybes B turi turėti?

Mes laikome, kad lempa bet kuriuo laiko momentu yra įjungta arba išjungta. Matematiškai tai reiškia, kad B(t) = 0 arba B(t) = 1 su visais t.

Kita lempų savybė ta, kad jei lempa nebuvo perjungta nuo laiko t = a iki laiko t = b (a < b), tai jos būsena laiko momentu t = a ir laiko momentu t = b ta pati. Matematiškai tai reiškia, kad B(a) = B(b), jei lempa nebuvo perjungta laiko intervale (a, b].

Paskutinė lempų savybė ta, kad jei lempa buvo perjungta lygiai vieną kartą tarp laiko t = a ir laiko t = b (a < b), tai jos būsena laiko momentu t = a ir laiko momentu t = b skiriasi. Matematiškai B(a) = 1 - B(b), jei lempa buvo perjungta laiko intervale (a, b] lygiai vieną kartą.

Iš antros ir trečios savybės galime išvesti kitą savybę: jei lempa laiko intervale (a, b] buvo perjungta lyginį skaičių kartų, tai B(a) = B(b), o jei nelyginį, tai B(a) = 1 - B(b). Daugiau padaryti negalime.

Dabar šiek tiek griežčiau apie perjungimus. Juos galime įsivaizduoti kaip realiųjų skaičių poaibį P: jei lempa buvo perjungta laiko momentu t = t_0, tai t_0 priklauso P, o jei laiko momentu t = t_0 lempa nebuvo perjungta, tai t_0 nepriklauso P. Perjungimų tarp laiko t = a ir t = b skaičių galime apibrėžti kaip funkciją s(a, b), kurios reikšmė būtent ir yra skaičius P narių, kurie pakliūna į intervalą (a, b] (griežtai tai reiškia s(a, b) = |P sankirta su (a, b]|). Kadangi perjungimų gali būti be galo daug, tai su tam tikrais a ir b gali būti s(a, b) = ∞.

Apibendrinkime: B(t) = 0 arba B(t) = 1 su visais t; B(a) = B(b), jei s(a, b) = 2n, kur n sveikas skaičius; B(a) = 1 - B(b), jei s(a, b) = 2n + 1, kur n sveikas skaičius.

Dabar galime nagrinėti konkrečią situaciją apie vilką. Žinome, kad B(0) = 1, o perjungimų aibė yra P = {10, 15, 17.5, 18.75, ...}. Tai kur čia paradoksas? Sakykime, aš turiu funkciją B, kuri apibrėžta
B(t) = 1, kai 0 ≤ t < 10;
B(t) = 0, kai 10 ≤ t < 15;
B(t) = 1, kai 15 ≤ t < 17.5;
bendru atveju
B(t) = 1, kai 10 * (2 - 2^(-2k-1)) ≤ t < 10 * (2 - 2^(-2k)), k = 0, 1, 2, ...
B(t) = 0, kai 10 * (2 - 2^(-2k)) ≤ t < 10 * (2 - 2^(-2k+1)), k = 0, 1, 2, ...
(čia aprašo lempą intervale [0, 20) - aiški dalis iš tikro)
ir B(t) = 0, kai t ≥ 20.
Ši funkcija tenkina visas norimas savybes (reikia atkreipti dėmesį, kad s(a, b) = ∞, kai a < 20 ≤ b, o ∞ nėra nei lyginis, nei nelyginis skaičius) - paradokso nėra!

Visgi iškyla klausimas: o jei apibrėžčiau B(t) taip pat kaip anksčiau, tik padaryčiau B(t) = 1, kai t ≥ 20, kas tada. Ši funkcija irgi tenkina visas norimas savybes. Tačiau tai nieko blogo nereiškia. Čia panašiai kaip spręsti lygtį x² - 1 = 0: atsakymas bus "x = -1; x = 1". Taip ir atsakymas apie lemputę yra "lemputė degs; lemputė nedegs".

Paskutinė pastaba: mūsų intuicija sufleruoja, kad vyksmai aplink yra deterministiniai, t.y. jei žinome visą informaciją apie pasaulį laiko momentu t = T, tai galime apskaičiuoti, koks bus pasaulis bet kuriuo laiko momentu t ≥ T. Toks požiūris padaro šią lempos problemą paradoksalią: mes tikimės, kad žinodami pradinę lempos būseną B(0) ir visus perjungimus P būtinai galėsime vienareikšmiškai apskaičiuoti B(t) visiems t ≥ 0, bet matematika parodo, kad taip nėra, kai aibė P begalinė (t.y. perjungimų be galo daug). Tačiau intuicija galioja tik baigtiniams procesams: niekas nėra matęs begalinio proceso, todėl negalime jos piršti šioje situacijoje. Ir šiaip dauguma fizikų sutinka, kad pasaulis nėra deterministinis (žr. kvantinę fiziką :) ).

Iš tikro paskutinė pastaba: apskritai daug klaidą atsiranda tada, kai bandome intuiciją taikyti begaliniams procesams, pavyzdžiui, sumuojant begalines sumas, integruojant ir panašiai.

Ilgas pranešimas, bet gal kam netyčia ir įdomu bus. Trumpiau nemoku.

Labai protingos mintys turiu pastebėt ;)

Va ta begalybė šitam uždavinyje ir yra mįslė. Reiktų nepamiršti, ijungimą išjungimą daro nekažkas, o gyva butybė, reali butybė, tad super maži intervalai tarp jungimų fiziškai neįmanomi.
Čia galima prigalvoti daug prielaidų ir sąlygų, tada spręstusi viskas paprastai.