Loginis skaičiavimo ir reiškimosi uždavinys

Uždavinys: raskite visus penkiaženklius skaičius, turinčius tokią savybę: kiekvienas iš pirmųjų trijų skaitmenų yra didesnis už visų į dešinę nuo jo esančių skaitmenų sumą, o ketvirtas skaitmuo didesnis už penktą.

1. abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e
2.a > b + c + d + e
  b > c + d + e
  c >  d + e
  d > e

Kokie būtų patarimai? Ar pirmieji žingsniai yra geri?

peržiūros 210

atsakymai 1

aktyvumas 17 d

Įdomus iš tiesų uždavinys.
Aš jį išsprendžiau taip:
Tarkime [tex]e=e_0,\space e_0∈N[/tex], tada [tex]d>e\implies d=e_0+k_1[/tex], kur [tex]k_1>0, \space k_1∈N[/tex]
Atitinkamai: [tex]c>d+e\implies c=d+e+k_2[/tex], kur [tex]k_2>0, \space k_2∈N[/tex]
[tex]b>c+d+e\implies b=c+d+e+k_3[/tex], kur [tex]k_3>0, \space k_3∈N[/tex]
[tex]a>b+c+d+e\implies a=b+c+d+e+k_4[/tex], kur [tex]k_4>0, \space k_4∈N[/tex]

Taigi, kai [tex]k_i>0, \space k_i∈N[/tex], kur [tex]i=\overline{1,4}[/tex], turime sistemą:
[tex]\begin{cases} e=e_0 \\ d=e_0+k_1\\c=d+e+k_2\\b=c+d+e+k_3\\a=b+c+d+e+k_4 \end{cases}[/tex]
Kurią galime persitvarkyti taip:
[tex]\begin{cases} e=e_0 \\ d=e_0+k_1\\c=2e_0+k_1+k_2\\b=4e_0+2k_1+k_2+k_3\\a=8e_0+4k_1+2k_2+k_3+k_4 \end{cases}[/tex]
Kadangi skaitmenys išskyrus pirmą gali įgyti reikšmes nuo 0 iki 9 (pirmas nuo 1 iki 9), tai akivaizdu, kad paskutinoji sistemos lygybė teisinga tik tada, kai [tex]e_0=0[/tex].
Tada gauname sistemą:
[tex]\begin{cases} e=0 \\ d=k_1\\c=k_1+k_2\\b=2k_1+k_2+k_3\\a=4k_1+2k_2+k_3+k_4 \end{cases}[/tex]
Imame mažiausias galimas [tex]k[/tex] reikšmes (visas lygias 1), tada gauname, kad sistema:
[tex]\begin{cases} e=0 \\ d=1\\c=2\\b=4\\a=8 \end{cases}[/tex]
Gavome vieną sprendinį [tex]84210[/tex].
Imame kitą [tex]k[/tex] reikšmių kombinaciją (iškart pastebime, jog [tex]k_1[/tex] ir [tex]k_2[/tex] reikšmės didesnės už 1 netinka, nes tada imant kitų kintamųjų [tex]k_i,\space i≠1,2[/tex] reikšmes kad ir 1 gausime [tex]a[/tex] daugiau nei 9 ([tex]k_1=1,\space k_2=1,\space k_3=1, \space k_4=2[/tex]):
[tex]\begin{cases} e=0 \\ d=1\\c=2\\b=4\\a=9 \end{cases}[/tex]
Gavome dar vieną sprendinį [tex]94210[/tex].
Pastebime, jog mums tinka paskutinė tokia [tex]k_i[/tex] reikšmių kombinacija ([tex]k_1=1,\space k_2=1,\space k_3=2, \space k_4=1[/tex]):
[tex]\begin{cases} e=0 \\ d=1\\c=2\\b=5\\a=9 \end{cases}[/tex]
Gauname paskutinį sprendinį [tex]95210[/tex].

Ats.: 84210, 94210, 95210.

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-10-04

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!