Lygties tyrimas natūraliųjų skaičių aibėje

Kiek sprendinių (x, y) natūraliųjų skaičių aibėje turi lygtis
(1/x) + (1/y) = 1/2018

0

peržiūros 59

atsakymai 1

aktyvumas 12 d

Pertvarkome lygtį taip:
Kai [tex]x,y≠0[/tex], tai:
[tex]x=\dfrac{2018y}{y-2018}=y-2018+\dfrac{2018^2}{y-2018}[/tex]
Kadangi [tex]x∈\mathbb{N}[/tex], tai turime rasti tokias [tex]y∈\mathbb{N}[/tex] reikšmes, kad: [tex]\dfrac{2018^2}{y-2018}∈\mathbb{N}[/tex]
Išskaidome skaičių [tex]2018^2[/tex] pirminiais dauginamaisias: [tex]2018^2=2^2\cdot 1009^2[/tex].
Taigi skaičiaus [tex]2018^2[/tex] dalikliai yra [tex]1;\space 2;\space 2^2; \space 1009; \space 2\cdot 1009;\space 2^2\cdot 1009;\space 1009^2;\space 2\cdot 1009^2;\space 2^2\cdot 1009^2[/tex]. Jų kiekis lygus 9. Kadangi, kai [tex]n[/tex] lygu kuriam nors iš daliklių lygtis [tex]y-2018=n[/tex] turi natūralų sprendinį, tai reiškia, kad duotoji lygtis turi 9 natūralių sprendinių poras [tex](x;y)[/tex].

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!