Matematikos Maratonas Nr. 1

Nusprendžiau, kad reikia pagyvinti šią skiltį :)

Matematikos maratono taisyklės:
1) Žmogus išsprendęs uždavinį turi įdėti naują.
2) Turi būti parašyti sprendimai, formulės, nubrėžti reikalingi grafikai, o ne vien parašyti atsakymai.
3) Kadangi čia olimpiadų skiltis, todėl uždaviniai turi būti sudėtingi, reikalaujantys žinių.
4) Jeigu uždavinio niekas neįveikia, sprendimą pateikia autorius.

Taigi nieko nelaukdamas dedu pirmąjį uždavinį.

Įrodykite, kad su bet kokiu sveikuoju skaičiu k, k³-k dalinasi iš 6.

Na as manau cia galima spresti matematines idukcijos metodu:
1) tikriname ar k³-k teisinga su k=1:

1³-1=0 -> o dalosi is 6 (teisinga)

2)darome prielaida kad su k = n teisinga uzduoties salyga, t.y. n³-n dalinasi is 6

3)imame k = n+1

(n+1)³-(n+1)=n³+3n²+3n+1-n-1=(n³-n)+3n²+3n
is prielaidos n³-n dalosi is 6
tuomet toliau nagrinejame likusia dali:
3n²+3n=3n(n+1)
kad skaicius dalintusi is sesiu jis turi dalintis ir is 3 ir is 2.
a)Taigi reiskinyje 3n(n+1) matome, kad daugiklis 3 visda bus
dabar reikia isitikinti kad visada bus ir daugiklis 2:
b) jei n = 2z, t.y. lyginis skaicius tai:
3n(n+1)=3*2z(2z+1) - matome daugiklis 2 yra
c)jei n = 2z+1, neluginis skaicius, tai:
3n(n+1)=3(2z+1)(2z+1-1)=3(2z+1)2z - taip pat matome kad daugiklis 2 yra

taigi is a), b) ir c) seka, kad 3n²+3n=3n(n+1) visada dalosi is 6.
Vadinasi su k=n+1, reiskinys k³-k visada dalosi is 6.

Ivydyti visi trys matematines idukcijos zingsniai.

Irodyta.

Gerai!
Gali dėti naują uždavinį. :)

P.S Buvo galima spręsti paprasčiau:
k³-k=(k-1)k(k+1).
k-1,k ir k+1 - trys iš eilės einantys skaičiai.
Tarp trijų iš eilės einančių skaičių bent vienas dalinasi iš 3, taip pat tarp trijų iš eilės einančių skaičių bent vienas dalinasi iš 2, todėl snadauga dalinasi iš 2*3=6 :)

Tęsiam maratoną :)

Raskite visus pirminius skaičius p ir q, su kuriais būtų teisinga lygybė p + q = ( p - q)³

Sekmės ;)

Jau mačiau kaip rodė šio uždavinio sprendimą po VPU konkurso, todėl leisiu kitiems pasireikšt :)

Taip taip jis būtent iš ten. Dalyvavai? Kaip sekėsi? :)

Aha, dalyvavau, pirmą vietą laimėjau :)

Tai bent jau buvo ką veikti ten ar tik šiaip pasižaidimas tau ten buvo sudalyvauti ir pirmą vietą paimti? :)

p.s. Sveikinimai! ;)

Pirma pastebėkime, kad q < p (nes (p - q)³ = p + q > 0). Jei nei p, nei q nesidalina iš 3, tai q ir -q palieka skirtingas nenulines liekanas moduliu 3, todėl arba p + q, arba p - q dalinasi iš 3, bet ne abu kartu. Tačiau taip būti negali, nes p + q = (p - q)³. Taigi p arba q dalinasi iš 3. Kadangi tai pirminiai skaičiai, tai p = 3 arba q = 3.

Jei p = 3, tai q turi būti 2 (nes q < p). Tačiau tuomet p + q = 5 ≠ 1 = (p - q)³, taigi šis atvejis sprendinių neduoda.

Jei q = 3, tai turime p + 3 = (p - 3)³, t.y. (p - 3)((p - 3)² - 1) = 6. p = 5 tinka. Jei p ≥ 6, tai (p - 3)((p - 3)² - 1) ≥ 3 * 8 = 24 > 6, taigi tokių sprendinių nebus.

Atsakymas: (p, q) = (5, 3).

Aišku buvo ką veikti :D Iš 20-ies taškų surinkau 15 (vieną blogai padariau) :)