Matematikos maratono taisyklės: 1) Žmogus išsprendęs uždavinį turi įdėti naują. 2) Turi būti parašyti sprendimai, formulės, nubrėžti reikalingi grafikai, o ne vien parašyti atsakymai. 3) Kadangi čia olimpiadų skiltis, todėl uždaviniai turi būti sudėtingi, reikalaujantys žinių. 4) Jeigu uždavinio niekas neįveikia, sprendimą pateikia autorius.
pakeista prieš 7 m
VaLDaSS +931
Tai gal pradėsiu :D Išspręskite lygtį: [tex]x^{2}-4=\sqrt{x+4}[/tex]
DEMO +1000
1. Apibrėžimo sritį randame iš sistemos [tex]\begin{cases}x^2-4\geq0\\x+4\geq0\end{cases}\Rightarrow x\in[-4;-2]\cup[2;\infty)[/tex]. [tex]x^2-4=\sqrt{x+4}\Rightarrow x^4-8x^2-x+12=(x^2+x-3)(x^2-x-4)=0[/tex] (skaidant dauginamaisiais galima taikyt neapibrėžtųjų koeficientų metodą arba paprasčiausiai atspėti). Išsprendę lygtis [tex]x^2+x-3=0[/tex] ir[tex] x^2-x-4=0[/tex] gaunam du tinkamus sprendinius [tex]x_1=-\frac{1+\sqrt{13}}{2}[/tex] ir [tex]x_2=\frac{1+\sqrt{17}}{2}[/tex].
2. Duotas trikampis [tex]ABC[/tex]. [tex]D[/tex] yra kraštinės [tex]AC[/tex] vidurio taškas. Ant [tex]BC[/tex] paimtas toks taškas [tex]E[/tex], kad [tex]\angle BEA=\angle CED[/tex]. Rasti [tex]\frac{AE}{DE}[/tex].
P.S.: Laimingų Naujųjų, matematikai ir matematikės!
pakeista prieš 11 m
VaLDaSS +931
[tex]\angle BEA = \angle CED = x[/tex] ,todėl [tex]\angle AED= 180-2x[/tex]. Pasižymime tašką [tex]E_1[/tex], simetrišką taškui [tex]E[/tex] ,[tex]AC[/tex] atžvilgiu. Gauname lygiagretainį [tex]AECE_1[/tex].[tex]\angle AEC + \angle EAE_1 = 180\Rightarrow 180-2x+x + \angle EAE_1= 180\Rightarrow \angle EAE_1= x [/tex] (Lygiagretainio du gretimi kampai sudaro 180 laipsnių). [tex]\angle EE_1A= 180-\angle AEE_1 - \angle EAE_1= 180 -180+2x-x= x[/tex] (Trikampio kampų suma lygi 180 laipsnių). Taigi trikampio kaštinės[tex]AE[/tex] ir [tex]E_1E[/tex] lygios, nes kampai prie pagrindo lygūs [tex]x[/tex]. [tex]ED= \frac{EE_1}{2}= \frac{AE}{2}[/tex](Lygiagretainio įstrižainė [tex]AC[/tex] dalija įstrižainę [tex]EE_1[/tex] į dvi lygias dalis). Taigi [tex]\frac{AE}{DE}= \frac{AE}{\frac{AE}{2}}= 2[/tex]
Taškas [tex]E[/tex] būtų simetriškas taškui [tex]E_1[/tex] [tex]AC[/tex] atžvilgiu, jei būtų [tex]EE_1\perp AC[/tex]. Bendruoju atveju taip nėra! Galima būtų pasakyti taip: [tex]ED[/tex] tęsinyje pasižymim tokį tašką [tex]E_1[/tex], kad [tex]ED=DE_1[/tex]. Visa kita - gerai.
Trečią uždavinį tegul išsprendžia kas nors kitas, nes čia gausis tik Valdo ir mano pokalbis :D
VaLDaSS +931
Teisingai, suklydau ten ;D žadėjau rašyti , kad D atžvilgiu simetriškas
