Matematikos Maratonas Nr. 3

Kadangi [tex]e^x=\sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}[/tex], tuomet kai [tex]n∈N[/tex]:
[tex]e^x=\sum\limits_{i=0}^{n} \frac{x^i}{i!}+\sum\limits_{i=n+1}^{\infty} \frac{x^i}{i!}=\sum\limits_{i=0}^{n-1} \frac{x^i}{i!}+\frac{x^n}{n!}+\sum\limits_{i=n+1}^{\infty} \frac{x^i}{i!}>\frac{x^n}{n!}[/tex].
Turime, kad: [tex]e^x>\frac{x^n}{n!}[/tex].
Tarkime [tex]x=n[/tex], tada:
[tex]e^n>\frac{n^n}{n!}\implies e^nn!>n^n\implies \frac{n^n}{e^n}<n!\implies (\frac{n}{e})^n<n![/tex]    (1)
Kadangi [tex]e<3[/tex], tai [tex]\frac{n}{e}>\frac{n}{3}[/tex], o taip pat: [tex](\frac{n}{e})^n>(\frac{n} {3})^n[/tex].    (2)
iš (1) ir (2) nelygybių gauname dvigubą nelygybę:
[tex](\frac{n} {3})^n<(\frac{n}{e})^n<n![/tex]
Vadinasi:
[tex](\frac{n} {3})^n<n![/tex], kai [tex]n∈N[/tex].
Tai reiškia, kad nelygybė [tex](\frac{n} {3})^n>n![/tex] neturi natūraliųjų sprendinių.

Natūralieji skaičiai [tex]a,\space m,\space n[/tex] tenkina lygtį:
[tex](a^2+2)^m=(2a-1)^n[/tex]
Raskite visas galimas [tex]a[/tex] reikšmes.

Akivaizdu, kad [tex]a[/tex] yra nelyginis skaičius, nes lygties dešinė pusė yra visada nelyg. sk.,o kairė bus nelyg. sk., kai [tex]a[/tex] bus nelyg. sk..Iš pagrindinės aritmetikos teoremos turime, kad dešinės ir kairės pusės pirminiai dalikliai tie patys. Raskime [tex]dbd(2a-1,a^2+2)[/tex]. Kadangi abiejų pirminiai dalikliai tie patys, tai abu turi būti kažkokio skaičiaus laipsniai. Iš to seka [tex]dbd(2a-1,a^2+2)=min(2a-1,a^2+2)[/tex]. Parodysime, kad [tex]a^2+2>2a-1[/tex]. Iš tikrųjų, [tex]a^2-2a+1+2>0 \Rightarrow (a-1)^2+2>0[/tex] visiems natūraliems [tex]a[/tex]. Todėl, [tex]dbd(2a-1,a^2+2)=2a-1[/tex].
Iš [tex]dbd[/tex] savybių žinome, kad [tex]2a-1|a^2+2[/tex]. Kadangi, [tex]dbd(4,2a-1)=1[/tex], tai [tex]2a-1|4a^2+8 \Rightarrow 2a-1|4a^2-4a+1+4a-2+9 \Rightarrow 2a-1|(2a-1)^2+2(2a-1)+9 \Rightarrow 2a-1|9[/tex]. Matome, kad galimos [tex]a[/tex] reikšmės yra [tex]1,2,5[/tex]. [tex]2[/tex] netinka, nes [tex]a[/tex] nelyg. sk.. Patikrinę [tex]1[/tex] ir [tex]5[/tex], matome, kad tinka tik [tex]5[/tex].
Ats.: [tex]a=5[/tex]

Na va pasitaisei. Dabar gerai. Atsakymas teisingas :)

Jo, pamaniau apie vieną, bet parašiau visai ką kitą. :)

Raskite visus pirminius skaičius p, tenkinačius sąlygą [tex]p|2^p+1[/tex].

Pastaba. Užduotis prašo rasti tokius pirminius [tex]p[/tex], kad [tex]2^p+1=k*p[/tex], kur [tex]k[/tex] - kažkoks sveikasis skaičius.

Turime rasti tokius pirminius skaičius [tex]p[/tex], kad [tex]2^p+1 \equiv 0 \pmod p[/tex].
Iš mažosios Ferma teoremos turime, kad:
[tex]a^{p-1}\equiv1 \pmod p[/tex], kur [tex]a\pmod p≠0[/tex].
Kai [tex]a=2[/tex] turime, kad:
[tex]2^{p-1}\equiv1 \pmod p[/tex], kai [tex]2\pmod p≠0[/tex].
Pertvarkome šį lyginį:
[tex]2^{p-1}\cdot 2\equiv1\cdot 2 \pmod p \Leftrightarrow 2^{p}+1\equiv2+1 \pmod p\Leftrightarrow 2^{p}+1\equiv3 \pmod p[/tex].
Gautą rezultatą galime užrašyti ir taip:
[tex]2^{p}+1 \pmod p=3\pmod p[/tex]
Reikalaujame, kad: [tex]2^{p}+1 \pmod p=0[/tex], vadinasi turi būti teisinga ir lygybė: [tex]3\pmod p=0[/tex].
Ji bus teisinga, tada ir tik tada, kai [tex]p=3[/tex].
Ats.: 3

Labai gerai. :)

Be paveikslėlyje pateiktų duomenų taip pat žinoma, kad [tex]\frac{AK}{KC}=\frac{BL}{LD}=\frac{1}{2}[/tex].
Raskite [tex]KL[/tex] ilgį.

Toks buvo galimas šio uždavinio sprendimas:

Pažymėję vektorius taip, kaip pavaizduota paveikslėlyje, galime užrašyti, kad:
[tex]\vec{KL}=\vec{c}+\vec{a}+\vec{d}[/tex]
ir taip pat:
[tex]\vec{KL}=-2\vec{c}+\vec{b}-2\vec{d}[/tex]
Pirmąją lygybę padauginę iš 2 ir sudėję su antra, gauname:
[tex]2\vec{KL}+\vec{KL}=2\vec{c}+2\vec{a}+2\vec{d}-2\vec{c}+\vec{b}-2\vec{d}[/tex]
[tex]3\vec{KL}=2\vec{a}+\vec{b}[/tex]
Pakėlę abi lygybės puses kvadratu, gauname:
[tex]9\vec{KL}^2=(2\vec{a}+\vec{b})^2[/tex]
[tex]9|\vec{KL}|^2=4|\vec{a}|^2+4\vec{a}\vec{b}+|\vec{b}|^2[/tex]
[tex]9|\vec{KL}|^2=4|\vec{a}|^2+4|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}})+|\vec{b}|^2[/tex]
Turime [tex]|\vec{a}|=2,\space |\vec{b}|=4,\space (\widehat{\vec{a},\vec{b}})=30^o[/tex], todėl:
[tex]9|\vec{KL}|^2=4\cdot 2^2+4\cdot 2\cdot 4\cos(30^o)+4^2=16+16\sqrt{3}+16=32+16\sqrt{3}=16(2+\sqrt{3})[/tex]
[tex]3|\vec{KL}|=4\sqrt{2+\sqrt{3}}[/tex]
[tex]|\vec{KL}|=\dfrac{4}{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}[/tex]