Matematinės indukcijos principu įrodykite, kad...

Sveiki, gal kas galėtų pagelbėti su šiais uždaviniais?

Matematinės indukcijos principu įrodykite, kad šie teiginiai galioja su visais natūraliaisiais n:

a) 1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+...+1/(n(n+1))=n/(n+1)

b) 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=(n(n+1)(n+2))/3

a) Patikriname, ar ši lygybė galioja, kai n=1:
[tex]\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1\cdot 2}[/tex]
Darome prielaidą, jog ši lygybė teisinga, kai n=k., t.y.: [tex]S(k)=\frac{k}{k+1}[/tex].
Įrodykime, jog ši lygybė teisinga, kai n=k+1:
[tex]S(k+1)=S(k)+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k^{2}+2k+1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+1)^{2}}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}=\frac{k+1}{k+1+1}[/tex].
Kadangi lygybė teisinga, kai n=k+1, tai ji teisinga su visomis natūraliomis n reikšmėmis.

b) Patikriname, ar ši lygybė teisinga, kai n=1:
[tex]\frac{1\cdot(1+1)\cdot (1+2)}{3}=2=1\cdot 2[/tex]
Darome prielaidą, jog lygybė teisinga, kai n=k, tai yra: [tex]S(k)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}[/tex]
Įrodykime, jog ši lygybė teisinga, kai n=k+1:
[tex]S(k+1)=S(k)+(k+1)(k+2)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}=\frac{(k+1)(k+1+1)(k+1+2)}{3}[/tex]
Kadangi lygybė teisinga, kai n=k+1, tai ji teisinga su visomis natūraliomis n reikšmėmis.

Dėkoju!