Matematinio mąstymo turinys. Gebėjimas suprasti matematinę kalbą.

Šią temą užvesti paskatino mintys, kad mokiniams iškyla daug sunkumų todėl, jog jie nėra pripratę prie matematinės kalbos. Matematinės kalbos nesupratimas prisideda prie matematinės medžiagos nesupratimo, todėl keliu idėją, jog trūksta mokomosios matematikos medžiagos, ugdančios gebėjimą kalbėti matematiškai. Čia pasiūlysiu pratimus, iš kurių dauguma yra įveikiami jau 5 - 6 klasėje besimokantiems mokiniams, tačiau labai tinkami savo žinias išbandyti ir 8 - tokams, stojantiems į gimnazijas ir licėjus.

PRATIMAI

1. Senovės Graikijoje buvo vartojama tokia Pitagoro teoremos formuluotė: Kvadratas ant stačiojo trikampio įžambinės BC yra suma kvadratų ant trikampio statinių BA ir AC. Pabandykite tą pačią mintį išreikšti taisyklingiau vartodami šiuolaikinę matematinę kalbą.

2. Elementai - tai didžiausią įtaką matematikos vystymuisi padaręs vadovėlis, išleistas maždaug 300m. prieš mūsų erą senovės graikų matematiko Euklido. Jame pateikti tokie sąvokų apibrėžimai:

• Vienetas yra tai, kas pagal prigimtį egzistuoja kaip vienas daiktas.
• Skaičius yra vienetų daugis.

Palyginkite, kuo ši skaičiaus samprata skiriasi nuo dabartinės skaičiaus sampratos. Galite remtis angliškoje Vikipedijoje nurodytu skaičiaus apibrėžimu:

• Skaičius yra matematinis objektas, naudojamas skaičiavime, matavime arba numeravime.

3. Įvardykite matmenis šių geometrinių objektų: atkarpa, kubas, kvadratas, kampas.

4. Matmenys, kuriuos įvardijote ankstesniame pratime, antikinėje matematinėje kalboje nebuvo vartojami. Remdamiesi šiuo teiginiu paaiškinkite, kodėl Senovės Graikijos matematikai nenustebtų išgirdę pirmame uždavinyje paminėtą formuluotę.

5. Pateikite situacijų iš kasdieninio gyvenimo, kuomet skaičius, naudojamas matavime, atitinka tašką skaičių tiesėje. Kaip pasiūlytume skaičių tiesėje pažymėti skaičių, naudojamą matavime ir esantį tam tikrose ribose (pvz. tarp 10 ir 30)? Kaip pasiūlytumėte žymėti skaičių $\sqrt{2}?$

6. Pabandykite apibūdinti šiuos matematinius ir geometrinius objektus. Palyginkite savo apibūdinimus su pateikiamais Vikipedijoje:
• skaičius
• taškas
• tiesė
• aibė
Suskirstykite juos į dvi grupes pagal panašumą ir pabandykite tą panašumą apibūdinti.

6. Ar egzistuoja
a) taškas, kuris nepriklauso tiesei?
b) taškas, kuris nepriklauso jokiai tiesei?
c) aibė, sudaryta ne iš skaičių?
d) skaičius, kuris nepriklauso realiųjų skaičių aibei?
e) atkarpa, kuri nepriklauso kitai atkarpai?
f) atkarpa, kuri nepriklauso jokiai kitai atkarpai?
g) aibė, kuri priklauso kitai aibei?
h) aibė, kuri nepriklauso jokiai kitai aibei?
i) tiesė, kertanti kitą tiesę daugiau nei viename taške?

7. [8kl. antra pusė] Įrodykite, kad bet kurių dviems skaičiams $a$ ir $b$ visada galioja teiginys jų sumos kvadrato ir jų skirtumo kvadrato suma yra nemažesnė už jų kvadratų sumos ir bet kurio iš jų kvadrato sumą

8. Kiek skaičiaus 2018 užraše yra skaitmenų porų, tokių, kad poros narys, skaičiaus užraše esantis pirmiau likusio poros nario, yra už tą narį didesnis?

9. Kada dviejų skaičių kvadratų santykis nėra lygus jų santykio kvadratui?

10. Koks raidinis reiškinys atitinka sakinį skaičių $a$ ir $b$ sumos kvadrato ir šių skaičių kvadratų sumos dalmuo.

11. Lentoje ant kvadrato viršūnių yra surašyti tam tikri skaičiai, lygūs $a$, $b$, $c$ ir $d$. Bonifacijus atsitiktinai pasirinko vieną iš sudėties ir daugybos operacijų, o paskui ją atlikęs su kiekviena iš gretimose viršūnėse esančių skaičių porų, lentoje užrašė 4 tos operacijos rezultatus. Tada vėl pasirinko vieną iš sudėties ir daugybos operacijų ir ją atlikęs su šiais 4 rezultatais gavo tam tikrą skaičių. Užrašykite reiškinius, atitinkančius visas galimas šio skaičiaus reikšmes.

12. [*] Pateikite būdą, kaip bet kuriam racionaliajam skaičiui sudaryti lygtį, kuriai šis skaičius yra sprendinys.

13. [*] Kaip vadinama aibė skaičių, gautų kiek nori kartų naudojant 1 ir leistinas operacijas, jei:
• leidžiama tik operacija ,,+'';
• leidžiamos tik operacijos ,,+'' ir ,,-'';
• leidžiamos tik operacijos ,,+'', ,,-'' ir ,,$\times$'';
• leidžiamos tik operacijos ,,+'', ,,-'', ,,$\times$'' ir ,,:''.

14. [*] Įrodykite, kad tarp bet kurių dviejų skirtingų realiųjų skaičių egzistuoja racionalusis skaičius.

Nors matematinės kalbos skurdumo problema dabartinėje mokykloje nedaug kam atrodo aktuali, tačiau šią temą atnaujinu norėdamas atkreipti bent jau čia užsukančių lankytojų dėmesį. Problemos svarbai pailiustruoti pateiksiu pavyzdį iš asmeninės patirties. Šnekėjausi su vienu šeštaklasiu:

Pirmas pratimas mokiniui. Atlik veiksmus su trupmenomis, kuriuos neseniai ėjote: $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}$, $\frac{3}{7}+\frac{2}{7}$, $\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}$.
Mokinio sprendimas.
• $\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}$
• $\frac{3}{7}+\frac{2}{7}=\frac{21}{49}+\frac{14}{49}=\frac{35}{49}$
• $\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}=\frac{5}{10}+ \frac{2}{10}=\frac{7}{10}$
Antras pratimas mokiniui. Sugalvok tekstinį uždavinį, kuriame reikia dauginti du skaičius.

Mokinio sprendimas. Vienos mašinos greitis yra 60, kitos 140. Sudauginę gausime 8400.
Signalinis klausimas. Kur gyvenime tau prireikė naudoti daugybą?
Mokinio atsakymas. Neprireikė.
Trečias pratimas mokiniui. Kas įvyks, jei paveikslėlyje parodytą užtušuotą dalį padidinsime tris kartus? Pavaizduok tai sąsiuvinyje.
Mokinio sprendimas.

Ankstesėse pamokose užduotas klausimas. Kas tau matematikoje yra įdomu ir kodėl?
Mokinio atsakymas. Trupmenų dauginimas, nes jis lengvas.

Daug nekomentuosiu. Ir patys matote situaciją. Tik keli nešališki sakiniai:

Šie pratimai pailiustruoja moksleivio nesugebėjimą sieti trijų dydžių (vertės, kiekio ir galutinės vertės). Problemų jis turi ne tik su trijų dydžių siejimu daugyboje, bet ir atimtyje (neišsprendžia tekstinių uždavinių, kur reikia atimti). Dėl nežinomų priežasčių dabar jis dauginimą pamiršęs, bet gerai atsimena bendravardiklinimą ir taiko jį bet kur, kur papuola. Moksleivis painioja žodžių prasmes (užtušuotos dalies ryškumas ir užtušuotos dalies didumas). Atsižvelgiant į šias aplinkybes šio vaiko ugdymas turi būti kitoks. Kiek pažinojau tą vaiką, jis nepasižymėjo šimtaprocetine tinginyste, t.y. neteigė, kad matematika jam neįdomi. Užsidegimas ypač pakildavo, kai mokykloje pasisekdavo ir būdavo įvertintas geresniu pažymiu, nors tas įvykdavo retai. Jo įnikimas į kompiuterinius žaidimus krito į akį. Šis prisirišimas prie kompiuterio man pasitarnavo nebent tik tiek, kad pravedus pamoką, kur reikėjo atlikti kompiuterinę užduotį, motyvacija buvo tikrai šoktelėjusi.

Kaip minėjau, temas, kur kalbama apie matematinį mąstymą, būtinai reikia vis iš naujo prikelti.

Ankstesnis komentaras buvo konkretus pavyzdys, skirtas problemos mastui pailiustruoti.

Šio komentaro tikslas yra pateikti konkrečių pavyzdžių, kaip gebėjimas matematiškai kalbėti ir matematinės kalbos supratimas rišasi su gebėjimu logiškai, nuosekliai ir išraiškiai reikšti mintis bei suprasti kalbos sandarą. Pasidalinsiu savo sukurta užduotimi.