Neapibrėžtinis integralas

[math]int{a}{b}({x(sqrt{x}+root{3}{x}+6)})^-1dx[/math]

Gal kas galėtų pagelbėti? Čia su keitimais reiktų spręsti?

Pataisyta

Ar čia gerai parašyta? Įtartinai atrodo šaknies rodiklis prie kvadratinės šaknies.

Pataisyta

Galima sunintegruoti taip:

naudojam keitinį x = y^6. Tuomet turime
∫{a < x < b} d(y^6) / (y^6 (y^3 + y^2 + 6) )
= ∫{a^(1/6) < y < b^(1/6) (6y^5 dy) / (y^6 (y^3 + y^2 + 6))    (nes d(y^6) / dy = 6y^5 dy)
= 6∫ dy / (y(y^3 + y^2 + 6)).

Reikia išspręsti lygtį y^3 + y^2 + 6 = 0. Bus trys sprendiniai u, v, w --- vienas realus ir du kompleksiniai. Taigi (y-u)(y-v)(y-w) = 0.

Taip pat galime išskaidyti 1 / (y(y^3 + y^2 + 6)) = 1 / (y(y-u)(y-v)(y-w)) = A / (y-u) + B / (y-v) + C / (y-w) + D / y, kur A, B, C ir D konstantos, kurias reikia apskaičiuoti (arba atspėti).

Tuomet integralas bus
6∫[A / (y-u) + B / (y-v) + C / (y-w) + D / y] = 6[A log(y-u) + B log(y-v) + C log(y-w) + D log y].

Galima pasilengvint darbą atkreipus dėmesį į smulkmenas, pvz., B = C, jei u reali šaknis, o v ir w kompleksninės. Tuomet liks tik

6[A log(y-u) + B log( (y-v)(y-w) ) + D log y]
= 6[A log(y-u) + B log( (y^3 + y^2 + 6)/(y-u) ) + D log y]
= 6[(A-B) log(y-u) + B log( y^3 + y^2 + 6) + D log y],

taigi svarbiausia rasti vienintelį lygties y^3 + y^2 + 6 = 0 realų sprendinį u. Ši lygtis neturi gražių sprendinių (rodos), bet galima ją išsprestį naudojant Kardano formulę.

Nemanau, kad šis uždavinys turi gražų sprendimą. Kažkaip atrodo, kad vardiklis užrašytas ne toks, kokio norėta.