Nustatykite ar teisingi šie teiginiai.

Nepavyksta susigaudyti, pagelbėkit prašau!

Nustatykite, ar teisingi šie teiginiai. Jei teisingi, paaiškinkite, kodėl. Jei neteisingi, pateikite bent vieną pavyzdį, paneigiantį teiginį:

a) Jei egzistuoja lim f(x), tai funkcija yra apibrėžta taške x=a.
                                x->a

b) Jei funkcija f(x) yra tolydi visuose taškuose, išskyrus x=0, ir f(0)=0, tai lim f(x)=0
                                                                                x->0


Paskutinį kartą atnaujinta 2016-09-19

peržiūros 338

atsakymai 1

aktyvumas 6 mėn

Manau, verta atsakyti.

a) Teiginys: Jei egzistuoja $\lim_{x\to a}f(x)$, tai funkcija yra apibrėžta taške  $x=a$.

Teiginys neteisingas.

Sakome, kad egzistuoja funkcijos riba taške a, jeigu sutampa jos ribos iš kairės ir iš dešinės  tame taške, t.y.
$$\lim_{x\to a - 0} f(x) = \lim_{x\to a+0} f(x).$$
Ir čia visai nesvarbu, ar funkcija yra apibrėžta, ar neapibrėžta taške a.

Pavyzdžiui, žinome, kad egzistuoja riba
$$\lim_{x\to 0} \frac {\sin{x}}{x}= 1,$$
bet pati funkcija $f(x)=\frac{\sin{x}}{x}$ neapibrėžta taške  $x=0$.

Šiuo atveju galime papildomai apibrėžti funkciją taške $x=0$:
$$f(x)=\begin{cases} \frac{\sin{x}}{x}, \quad \textrm{kai} \quad \ x≠0 \\ 1, \quad \textrm{kai} \quad  \ x=0 \end{cases}$$

ir tuomet $f(x)$ bus tolydi visoje realiųjų skaičių ašyje.

b) Teiginys:  Jei funkcija $f(x)$ yra tolydi visuose taškuose išskyrus $x=0$ ir $f(0)=0$,  tai  $\lim_{x\to 0}f(x)=0$.

Teiginys neteisingas.

Kaip minėjau a) dalyje, kad egzistuotų funkcijos riba taške a, turi sutapti funkcijos ribos tame taške iš kairės ir iš dešinės.
Tačiau žinome tik tiek, kad funkcija yra tolydi, bet nieko negalime pasakyti apie tai, kaip ji elgiasi, kokias reikšmes įgyja, kaip elgiasi taško $x=0$ aplinkoje.

Imkime, pavyzdžiui, funkciją
$$f(x)=\begin{cases} 2, \quad \textrm{kai} \quad \ x<0 \\ 0, \quad \textrm{kai} \quad  \ x≥0. \end{cases}$$

Ši funkcija yra tolydi visur, išskyrus tašką $x=0$, ir $f(0)=0$, BET!!!
$$\lim_{x\to - 0} f(x) =2,\quad \textrm{o} \quad  \lim_{x\to +0} f(x)=0.$$

Ribos iš kairės ir iš dešinės skirtingos, vadinasi, funkcijos riba taške $\; x=0\;$ neegzistuoja.

Paskutinį kartą atnaujinta 2017-03-03

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!