eMatematikas.lt Naujienos Kategorijos Nauja tema Nariai Prisijungti Registruotis
       

Kategorijos

Naudingos temos

Pasitikime Naujuosius su matematika. Naujametinis keturkampis.

Kategorija: Geometrija

311

Turime iškiląjį keturkampį ABCD, kurio kraštinių AB, BC, CD ir AD vidurio taškai yra atitinkamai P, R, Q, S. Erdvėje pažymėtas taškas O. Atkarpos PQ ir SR kertasi taške M. Kadangi ateinantys metai yra 2018, tai tebūnie [tex]RS^2+PQ^2=a^2,\space OM=b[/tex], kur [tex]a,b[/tex] tenkina sistemą: $$\begin{cases}
a-b=20 \\
b=18
\end{cases}$$ Apskaičiuokite sumą: [tex]OP^2+OR^2+OQ^2+OS^2[/tex].

0

Atsakymas 2018. Su Naujaisiais !
Lengvai sprendžiasi, žinant, jog PRQS-lygiagretainis, ir įvedus vektorius.
Vektorių pagalba lengva gauti, jog
OP²+ OR²+ OQ²+ OS²= 4OM²+ [tex]\frac{PQ^{2}+RS^{2}}{2}[/tex]

1

Taip, Sokolovai! Tikrai naujametinis keturkampis. Ir jus su Naujaisiais!

0

Pateiksiu pilną šio uždavinio sprendimą:
http://www.ematematikas.lt/upload/images/1514819953_2093.png
Pirmiausiai įsitikinkime, jog PRQS yra lygiagretainis. Tai galime padaryti įvariais būdais. Įrodykime nesinaudodami vektoriais. Nagrinėjame trikampį ABC. Kadagi [tex]BR=RC,\space BP=AP[/tex], tai [tex]PR[/tex] šio trikampio vidurio linija, taigi [tex]PR||AC[/tex] ir [tex]PR=\dfrac{1}{2}AC[/tex]. Lygiai taip pat nagrinėdami trikampį ACD galime užrašyti, kad: [tex]SQ||AC[/tex] ir [tex]SQ=\dfrac{1}{2}AC[/tex]. Taigi galime apibendrindami rašyti, kad: [tex]PR||SQ[/tex] ir [tex]PR=SQ[/tex]. To pakanka, jog galėtume konstatuoti, kad PRQS - lygiagretainis.
Dabar pereikime prie įdomiausios dalies. Naudosime vektorių algebrą. Kadangi PRQS - lygiagretainis, tai: [tex]RM=MS,\space PM=MQ[/tex]. Tada iš trikampio POQ galime užrašyti, kad:
$$\vec{OM}=\dfrac{1}{2}\left(\vec{OP}+\vec{OQ}\right)$$ O iš trikampio SOR: $$\vec{OM}=\dfrac{1}{2}\left(\vec{OS}+\vec{OR}\right)$$ Apibendrindami galime užrašyti, kad: $$2\vec{OM}=\vec{OP}+\vec{OQ}=\vec{OS}+\vec{OR}$$ Pakėlę kvadratu galime užrašyti, tokias dvi lygybes: $$4\vec{OM}^2=\left(\vec{OP}+\vec{OQ}\right)^2=\vec{OP}^2+2\vec{OP}\cdot \vec{OQ}+\vec{OQ}^2\space (1)$$ $$4\vec{OM}^2=\left(\vec{OS}+\vec{OR}\right)^2=\vec{OS}^2+2\vec{OS}\cdot \vec{OR}+\vec{OR}^2\space (2)$$ Užrašykime dar dvi lygybes iš trikampių ORS ir OPQ: $$\vec{RS}=\vec{OS}-\vec{OR},\space\space \vec{PQ}=\vec{OQ}-\vec{OP}$$ Pakėlę šias lygybes kvadratu, gauname: $$\vec{RS}^2=\left(\vec{OS}-\vec{OR}\right)^2=\vec{OS}^2-2\vec{OS}\cdot \vec{OR}+\vec{OR}^2\space (3)$$ $$\vec{PQ}^2=\left(\vec{OQ}-\vec{OP}\right)^2=\vec{OQ}^2-2\vec{OQ}\cdot \vec{OP}+\vec{OP}^2\space (4)$$ Sudedame visas šias keturias lygybes ir gauname: $$8\vec{OM}^2+\vec{RS}^2+\vec{PQ}^2=2\left(\vec{OP}^2+\vec{OR}^2+\vec{OQ}^2+\vec{OS}^2\right)$$ Pertvarkę gauname: $$\vec{OP}^2+\vec{OR}^2+\vec{OQ}^2+\vec{OS}^2=4\vec{OM}^2+\dfrac{\vec{RS}^2+\vec{PQ}^2}{2}$$ Kadangi vektoriaus kvadratas yra lygus jo ilgio kvadratui, tai galime tiesiog užrašyti: $$OP^2+OR^2+OQ^2+OS^2=4OM^2+\dfrac{RS^2+PQ^2}{2}$$ Iš sistemos radę [tex]a=38,\space b=18[/tex], gauname, kad: [tex]RS^2+PQ^2=38^2=1444,\space OM=18[/tex], taigi: $$OP^2+OR^2+OQ^2+OS^2=4\cdot 18^2+\dfrac{1444}{2}=2018$$

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-01-01

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!