Prasau padekite, isivaizduoju plius minus kaip parasyti lygti turint 3 plokstumos taskus, bet visiskai nesuprantu kaip elgtis su siuo uzdaviniu, kai prisideda ir tasku atstumai.
Parašykite lygtį plokštumos, einančios per tašką M (5, 2, 0) ir nutolusios nuo taško P (6, 1, -1) atstumu 1, o nuo taško Q (0, 5, 4) atstumu 3.
Aciu
Germantas +9
Prasau pagalbos, ar tikrai niekas negali padeti?
Tomas PRO +4543
Pažiūrėsiu, ką galima padaryti.
Germantas +9
Lauksiu žinių!
Tomas PRO +4543
Nežinau, tiesą sakant ilgai sėdėjau prie šio uždavinio. Vieną sprendimo būdą sugalvojau. Vienintelis didžiausias jo minusas, jog pasirinkus neteisingą vektoriaus kryptį, galime negauti sprendinių, o tada teks vėl iš naujo spręsti uždavinį. Pateikiu sprendimą žemiau, jog suprastumei apie ką kalbu: Kaip matai taškai Q ir P šiame paveikslėlyje yra skirtingose plokštumos pusėse, o tai reiškia, kad vektoriai [tex]\vec{Q_1Q}[/tex] ir [tex]\vec{P_1P}[/tex] yra priešpriešiniai. Tokiu atveju, jei vektoriaus [tex]\vec{Q_1Q}[/tex] koordinates žymime [tex]\{a;b;c\}[/tex], logiška, jog vektoriaus [tex]\vec{P_1P}[/tex] koordinatės tada bus: [tex]\{-\frac{1}{3}a;-\frac{1}{3}b;-\frac{1}{3}c\}[/tex], nes atkarpa [tex]P_1P[/tex] yra triskart trumpesnė už [tex]Q_1Q[/tex]. Bet kaip ir rašiau iš pradžių, realiai aš nežinau, ar taškai P ir Q yra skirtingose plokštumos pusėse, taigi kitą variantą turėčiau dar negrinėti, kai [tex]\vec{P_1P}\{\frac{1}{3}a;\frac{1}{3}b;\frac{1}{3}c\}.[/tex] Tačiau jį patikrinus, jis neduoda sprendinių (t.y. galimų plokštumos lygčių). Taigi apsistokime ties šiuo atveju, kuris pavaizduotas paveikslėlyje. Kadangi [tex]\vec{Q_1Q}\{a;b;c\}=\vec{Q_1Q}\{0-x_{Q_1};5-y_{Q_1};4-z_{Q_1}\}[/tex], tai galime užrašti, kad: [tex]Q_1\left(-a;5-b;4-c\right)[/tex]. Atitinkamai: [tex]\vec{P_1P}\{-\frac{1}{3}a;-\frac{1}{3}b;-\frac{1}{3}c\}=\vec{P_1P}\{6-x_{P_1};1-y_{P_1};-1-z_{P_1}\}[/tex], tai galime užrašti, kad: [tex]P_1\left(6+\frac{1}{3}a;1+\frac{1}{3}b;-1+\frac{1}{3}c\right)[/tex]. Dabar užrašome vektorių [tex]\vec{MQ_1}[/tex] ir [tex]\vec{MP_1}[/tex] koordinates: [tex]\vec{MQ_1}\{-a-5;5-b-2;4-c-0\}=\vec{MQ_1}\{-a-5;3-b;4-c\}[/tex] [tex]\vec{MP_1}\{6+\frac{1}{3}a-5;1+\frac{1}{3}b-2;-1+\frac{1}{3}c-0\}=\vec{MP_1}\{1+\frac{1}{3}a;-1+\frac{1}{3}b;-1+\frac{1}{3}c\}[/tex] Žinodami, jog [tex]|\vec{Q_1Q}|=3[/tex] ir taip pat: [tex]\vec{MQ_1}⊥\vec{Q_1Q}[/tex], [tex]\vec{MP_1}⊥\vec{Q_1Q}[/tex]. Sudarome sistemą: [tex]\begin{cases} a^2+b^2+c^2=9 \\ -a(a+5)+b(3-b)+c(4-c)=0\\ a(1+\frac{1}{3}a)+b(\frac{1}{3}b-1)+c(\frac{1}{3}c-1)=0 \end{cases}[/tex] Ją paliksiu tau išspręsti. Iš jos gauname tokius du sprendinių trejetus [tex](a;b;c)[/tex]: [tex](1;2;2),\space (0;3;0)[/tex]. Taigi gavome dviejų galimų plokštumų normalės vektorius. Kai [tex]\vec{n}\{1;2;2\}[/tex], tai plokštumos lygtis pavidalo: [tex]x+2y+2z+D=0[/tex]. Randame [tex]D[/tex] reikšmę įsistatydami taško [tex]M[/tex] koordinates: [tex]5+2\cdot 2+2\cdot 0+D=0\implies D=-9[/tex], taigi viena plokštuma: [tex]x+2y+2z-9=0[/tex]. Atitinkamai randame antros galimos plokštumos lygtį: [tex]3y-6=0[/tex].