Reiškinių pertvarkymai

Sveiki,

reikia šiokios tokios pagalbos su reikškiniais, kurių neįveikiu.

1) Suprastinti: 9-6m+m²/27-9m-3m²+m³ (ir gal galėtumėte paaiškinti, kaip kvadratinę lygtį, kuri turi 1 sprendinį, o ne 2, išskaidyti dauginamaisiais? Pavyzdys- šios trupmenos skaitiklis); Ats.: 1/m+3

2) Apskaičiuoti: 9a^4-b^4/(a+b)³-(a-b)³, kai a=√2/3, b=1/3; Ats.: 2*5/6

3) Reiškinį x²+x-12/x-2 užrašius x+3 - (A/x-2) pavidalu, konstantos A reikšmė bus...; Ats.: 6

4) Su kuria m reikšme reiškinys yra dvinario kvadratas? (pačios sprendimo esmės nesuprantu): x²+2mx+9  Ats.: 3

5) Raskite mažiausiąją reiškinio reikšmę, išskirdami pilną kvadratą (sprendimo principą): x²+10x+36; Ats.: 11

Permeskit akį, kas nepatingėsit. Ačiū :)

Sveikas.

1) [math]{9-6m+m^2}/{27-9m-3m^2+m^3}=(3-m)^2/{3(9-m^2)-m(9-m^2)}=(3-m)^2/{(9-m^2)(3-m)}=(3-m)^2/{(3-m)^2(3+m)}=1/{3+m}[/math] Dar vis neaišku? :)

2) [math]{9a^4-b^4}/{(a+b)^3-(a-b)^3}={9a^4-b^4}/{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-a^3+3ab^2-3ab^2+b^3}={9a^4-b^4}/{6a^2b+2b^3}={(3a^2+b^2)(3a^2-b^2)}/{2b(3a^2+b^2)}={3a^2-b^2}/{2b}[/math]

Įsistatome:

[math]{3*2/3-1/9}/{2/3}={2-1/9}/{2/3}=17/6=2~5/6[/math]

3) [math]{x^2+x-12}/{x-2}=x+3-A/{x-2}[/math]
[math]{x^2+x-12}/{x-2}={x^2-2x+3x-6-A}/{x-2}[/math]
[math]{x^2+x-12}/{x-2}={x^2+x-6-A}/{x-2}[/math]
[math]A=6[/math]

4) Dvinario kvadratas bus, kai lygtis turi vieną sprendinį: D = 0

5) [math]x^2+10x+36=x^2+2*5*x+5^2+11=(x+5)^2+11[/math]
Mažiausia (x+5)² reikšmė yra 0, o viso reiškinio - 11.

Jei kas neaišku, klausk :)

Ačiū labai, bet biški iškilo dar klausimėlių.

4 pratime man apsiskaičiuot diskriminantą, jį prisilygint 0 ir atmest x=-3 reikšmę?
5 irgi supratau, kaip skaidei, bet gal gali detaliau paaiškint kaip reikia tą didžiausią ir mažiausią reikšmę nustatyti?

Na, pagal mane -3 irgi tinka, nes x²-6x+9 arba (x-3)² irgi yra dvinario kvadratas. Tiesą sakant, nežinau, kodėl atsakymas tik 3. Gal kas kitas tai supras :)

Dėl 5-o, tai tau būtinai reikia išskirti dvinario kvadratą (to reikalauja sąlyga).
Taigi jei turi reiškinį x² + bx + c, gali jį išreikšti dvinario kvadratu ir konstanta taip:
(x + b/2)² + c - (b/2)²
Reiškinys priklauso nuo x. Mažiausia įmanoma reikšmė daliai su kvadratu yra 0, bet prie bet kokios reikšmės prisidės konstanta: mažiausia reikšmė c - (b/2)²
Kadangi dalis su kvadratu gali būti be galo didelė, didžiausias reikšmės nėra. Mažiausią jau radome.
Jei turi truputį kitokią situaciją: -(x + b)² + c, didžiausia reikšmė bus c, nes didžiausia kvadrato dalies reikšmė - 0. O mažėja be galo ilgai, todėl mažiausios reikšmės nėra :)

ShadoWsaZNa, pagal mane -3 irgi tinka, nes x²-6x+9 arba (x-3)² irgi yra dvinario kvadratas. Tiesą sakant, nežinau, kodėl atsakymas tik 3. Gal kas kitas tai supras :)

Dėl 5-o, tai tau būtinai reikia išskirti dvinario kvadratą (to reikalauja sąlyga).
Taigi jei turi reiškinį x² + bx + c, gali jį išreikšti dvinario kvadratu ir konstanta taip:
(x + b/2)² + c - (b/2)²
Reiškinys priklauso nuo x. Mažiausia įmanoma reikšmė daliai su kvadratu yra 0, bet prie bet kokios reikšmės prisidės konstanta: mažiausia reikšmė c - (b/2)²
Kadangi dalis su kvadratu gali būti be galo didelė, didžiausias reikšmės nėra. Mažiausią jau radome.
Jei turi truputį kitokią situaciją: -(x + b)² + c, didžiausia reikšmė bus c, nes didžiausia kvadrato dalies reikšmė - 0. O mažėja be galo ilgai, todėl mažiausios reikšmės nėra :)

Na, yra ir patogesnių būdų, skyrėme tą pilnąjį kvadratą, nes to reikalavo sąlyga :)
Su kvadratine funkcija: ax² + bx + c
Galime rasti parabolės viršūnės x: xv = -b/2a
Jei a teigiamas, įsistatę xv, gausime mažiausią funkcijos reikšmę, o didžiausios nėra.
Jei a neigiamas, gausime didžiausią reikšmę, mažiausios nėra.

Bet kokiai funkcijai tinkantis būdas yra išvestinės ir ekstremumų tyrimas. Aišku, su kvadratine funkcija gausime tą patį, ką ir su parabolės viršūnės x :)

Buvau visai pamiršęs apie parabolės viršūnės būdą, bet jis šiuo atvėju netinka, nes prašo viso reiškinio mažiausią reikšmę :D. Po biški gaudaus. :D
O kaip reiktų išskirti pilną kvadratą šio reiškinio? 1,25x²+5x+10. Atsirado kitoks nei 1 a dydis ir nebemoku :/

Bet pradinis reiškinys irgi kvadratinė funkcija, todėl parabolės viršūnės būdas tiktų :)

Dėl naujo reiškinio, manau, yra taip:
[math]1.25x^2+5x+10=1.25(x^2+4x+8)=1.25((x+2)^2+4)=(0.5sqrt{5}x+sqrt{5})^2+5[/math]

ShadoWsaZBet pradinis reiškinys irgi kvadratinė funkcija, todėl parabolės viršūnės būdas tiktų :)

Dėl naujo reiškinio, manau, yra taip:
[math]1.25x^2+5x+10=1.25(x^2+4x+8)=1.25((x+2)^2+4)=(0.5sqrt{5}x+sqrt{5})^2+5[/math]

Kaip isspesti?
Su kuriomis x reikšmemis dvinaris 6x-7 yra teigiamas?