eMatematikas.lt Naujienos Kategorijos Nauja tema Nariai Prisijungti Registruotis
       

Kategorijos

Naudingos temos

Ritinys ir jo aukštinės ir skersmens santykis

Kategorija: Geometrija

406

Sveiki.. Vėl užstrigau. :D
Klausimas toks:

Koks turi būti kūgio aukštinės ir pagrindo skersmens ilgių santykis, kad duotojo tūrio kūgio šoninis paviršius būtų mažiausias.

Nemoku susidaryt funkcijos.
+REP kas padės

Tema: 12 kl 3 skyrius išvestinės, 12 tema, sprendžiame tekstinius uždavinius

0

Pasirinkime, jog mūsų kintamasis būtų kūgio pagrindo spindulys [tex]r[/tex]. Turime parametrą [tex]V[/tex] - kurio reikšmė yra lygi to kūgio tūriui. Kai [tex]h[/tex]- to kūgio aukštinė, tai pagal kūgio tūrio formulę galime užrašyti, kad:
$$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$$ Iš čia per [tex]r[/tex] išsireiškiame dydį [tex]h[/tex]: $$h=\dfrac{3V}{\pi r^2}$$ Nesusimaišykime. Čia turime tik vieną kintamąjį [tex]r[/tex]. [tex]V[/tex]- čia yra parametras. Tikiuosi žinai skirtumą tarp parametro ir kintamojo. Kūgio šoninio paviršiaus plotas paskaičiuojamas pagal formulę: $$S=\pi rl,$$ kur [tex]l[/tex], kūgio sudaramoji paskaičiuojama pagal Pitagoro teoremą: $$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+\left(\frac{3V}{\pi r^2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{\pi^2 r^6+9V^2}}{\pi r^2}$$ Tada galiausiai galime sudaryti funkciją, kuri išreiškia žinomo tūrio [tex]V[/tex] kūgio šoninio paviršiaus ploto priklausomybę nuo dydžio [tex]r[/tex]: $$S=\pi r\dfrac{\sqrt{\pi^2 r^6+9V^2}}{\pi r^2}\implies S=\dfrac{\sqrt{\pi^2 r^6+9V^2}}{r}$$ Toliau rask išvestinę, kritinius taškus ir surask [tex]r[/tex] reikšmę, su kuria funkcija [tex]S(r)[/tex] įgija mažiausią savo reikšmę intervale [tex]r∈(0;+\infty)[/tex].
Tada beliks surasti santykio [tex]\dfrac{h}{2r}[/tex] reikšmę.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-01-04

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!