Sunkoki uždaviniai su įrodymais ir apskaičiavimais

1. raskite trizenkli skaiciu, kurio skaitmenu suma yra 11 kartu mazesne uz patį skaičių.

2. (1-1/2kvadratu)*(1-1/3kvadratu)*(1-1/4kvadratu)*...*(1-1/2015kvadratu)=

3. Apie kvadratinį trinari axkvadratu+bx+c yra zinoma, kad jis neigyja reikšmes , lygios nuliui, su jokia realiaja x reiksme ir a+b+c>0. Irodykite, kad tokio kcadratinio trinario c>0 ir b-a-c<0

4.Ukininke supirko is uogautojų 48kg avieciu ir nutare jas sudziovinti. Kiek kg dziovintu avieciu ji gavo, jei svieziose avietese vanduo sudaro 70% ju mases, o dziovintuose tik 10%?

1) Skaičius  100x + 10y + z = 11 ( x +y +z)
x, y, z - skaitmenys.
89x - y - 10z = 0
Kadangi y + 10z negali būti didesnis už 99, o x nelygu 0, tai lieka x=1.
Vadinasi, y+ 10z =89.
Tinka vienintelis variantas: z=8, y=9. Atsakymas: 198

2) Lengva:
(1/2)² ( 2/3)² )3/4)² ( 4/5)²....( 2013/2014)² ( 2014/2015)² = 1 / 2015²

3) Nagrinėsime funkciją f(x) = ax² + bx + c. Kadangi ji neįgyja reikšmės 0 su jokia realiąja x reikšme, tai funkcijos reikšmėms yra būdingas ženklo pastovumas.
Kadangi f(1) = a + b + c > 0 ( duota), tai ir f(0) = c > 0.
f( -1) = a - b +c > 0
Padauginę abi nelygybės puses iš (- 1), gausime b - a - c < 0.  Įrodyta.

Su uogomis irgi labai lengvas uždavinys, tik reikia nuo vandens procento pereiti prie grynos uogų medžiagos procento.
Šviežiose uogose yra 30 proc. medžiagos, t.y. 0,3 х 48 =14,4 kg.
Džiovintų uogų masę pažymėkime S, joje medžiagos yra 90 procentų, t.y. 0,9 S.
Kadangi, džiovinant uogas, grynos uogų medžiagos masė nesikeičia, tai
0,9 S = 14,4.  Iš čia gauname:  S = 16. Atsakymas:  16 kg.

2 uzdaviny ten tik vardiklis pakeltas kvadratu,nezinau kaip cia parasyti uzdavini su laipsniu.

Paprastai ^ laikoma kėlimo laipsniu ženklu. Todėl a/(b^2) reikštų, kad vardiklis keliamas kvadratu.

Nors šiaip siūlyčiau naudotis LaTeX, ne veltui jis integruotas į šią svetainę: [tex]\dfrac a{b^2}[/tex].

Sprendimas:
Dauginamųjų viduje bendravardikliname, po to skaitiklius skaidome dauginamaisiais pagal kvadratų skirtumo formulę.

  (1-1/2²) (1 - 1/3²) ( 1 - 1/4²)....(1- 1/n²) =

=( 2- 1)(2+1)(3- 1)(3+1) (4- 1)(4+1)...(n- 1)(n+1) / 2² 3² 4²....(n-1)² n²  .

Gautoje trupmenoje visiškai išsiprastina visi dauginamieji, išskyrus 2 , n, n+1 ( skaitiklyje) ir 2² bei n² ( vardiklyje).
Taigi, gauname:  2n ( n+1) / 2²n² = (n+1) / 2n.

Kai n = 2015, gauname: 1008/ 2015.  Atsakymas:  1008/2015.

o is kur skaitiklyje lieka n?

Trečias iš galo (iš dešinės) dauginamasis skaitiklyje yra n. Daugtaškyje jis...
Pavyzdžiui, kai n=5, viskas atrodo taip:
(2- 1)(2+1)(3- 1)(3+1)(4- 1)(4+1)(5- 1)(5+!) / 2²3²4²5².
Skaitiklyje trečias nuo galo yra 5.