Tiesė plokštumoje. Aukštoji matematika.

Taškai A(0;-4), B(3;0), C(0;6) yra trikampio viršūnės. Raskite viršūnės C atstumą iki kampo A pusiaukampinės.

Pirmiausiai raskime iš taško A išvestų vienetinių vektorių koordinates:
Kadangi [tex]\vec{AC}\{0;10\}[/tex], [tex]\vec{AB}\{3;4\}[/tex], [tex]|\vec{AC}|=10[/tex], [tex]|\vec{AB}|=\sqrt{3^2+4^2}=5[/tex] tai
Pirmojo vienetinio vektoriaus [tex]\vec{a}[/tex] koordinatės: [tex]\vec{a}=\dfrac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}\implies \vec{a}\{\dfrac{0}{10};\dfrac{10}{10}\}=\vec{a}\{0;1\}[/tex]
Antrojo vienetinio vektoriaus [tex]\vec{b}[/tex] koordinatės: [tex]\vec{b}=\dfrac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}\implies \vec{b}\{\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}\}[/tex]
Tuomet pusiaukampinės vektorius [tex]\vec{p}[/tex] (raudonas) bus lygus vienetinių vektorių (žalių sumai), taigi:
[tex]\vec{p}\{0+\dfrac{3}{5};1+\dfrac{4}{5}\}=\vec{p}\{\dfrac{3}{5};\dfrac{9}{5}\}[/tex]
Tarkime bet kuris pusiaukampinės taškas yra [tex]P(x;y)[/tex]. Tuomet vektorius [tex]\vec{AP}[/tex] bus kolinearus vektoriui [tex]\vec{p}[/tex]. Kai [tex]\vec{AP}\{x;y+4\}[/tex]. Kadangi vektoriai [tex]\vec{p}[/tex] ir [tex]\vec{AP}[/tex] kolinearūs, tai:
[tex]\dfrac{y+4}{x}=\dfrac{\frac{9}{5}}{\frac{3}{5}}=3\implies y+4=3x\implies 3x-y-4=0[/tex]
Gavome pusiaukampinės (tiesės) lygtį pavidalu [tex]Ax+By+C=0[/tex]
Tuomet atstumą nuo taško C iki pusiaukampinės paskaičiuojame pagal formulę:
[tex]d=\dfrac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex], čia [tex]d[/tex] - atstumas nuo taško [tex]Q(x_1;y_1)[/tex] iki tiesės [tex]Ax+By+C=0[/tex]. Taigi:
Šiuo atveju turime tiesę [tex]3x-y-4=0[/tex] ir tašką [tex]C(0;6)[/tex], todėl:
[tex]d=\dfrac{|3\cdot 0-6-4|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\dfrac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}[/tex]