eMatematikas Prisijunk Forumas VBE užduotys ONLINE testai

Tikimybių teorijos uždavinys su juodais ir baltais rutuliais


Pirmoje urnoje yra 4 balti ir 6 juodi rutuliai, antroje yra 7 balti ir 3 juodi rutuliai,
trečioje - tik juodi rutuliai. Atsitiktinai pasirenkama urna ir iš jos ištraukiamas
rutulys. Ištrauktas juodas rutulys. Kokia tikimybė, kad tas rutulys yra iš pirmos
urnos?

Gal galit kas užvesti ant "kelio" nes neisivaizduoju kaip išpresti.Kiek suprantu reik taikyti pilnosios tikimybės formulę ar bajeso? Bet šių formulių visiškai neperprantu...

Formulės galime nesuprasti tik tuo atveju, jei nesuprantame kokie dydžiai toje formulėje yra susieti.
Tarkime turime du įvykius [tex]A[/tex] ir [tex]B[/tex], tada įvykio [tex]A[/tex] tikimybę žymėsime [tex]P(A)[/tex], o tikimybę [tex]B[/tex]: [tex]P(B)[/tex]. Jeigu turime įvykį, kurį žodžiais galime nusakyti taip: įvyks įvykis [tex]A[/tex], kai žinome, jog įvyko įvykis [tex]B[/tex]. Tada tokio įvykio tikimybę žymime [tex]P(A|B)[/tex] ir ją vadiname sąlygine tikimybe.
Taikant pilnosios tikimybės formulę būtent ir susiduriame su sąlyginėmis tikimybėmis, nes:
[tex]P(A)=P(A|H_1)\cdot P(H_1)+ P(A|H_2)\cdot P(H_2)+...+P(A|H_n)\cdot P(H_n)[/tex], kur [tex]H_1,H_2,...,H_n[/tex] vadiname hipotezėmis ir visų jų tikimybių suma turi būti lygi 1.
Tavo uždavinio atveju turime, kad [tex]A[/tex]-"ištrauktas juodas rutulys"
Ir taip pat turime tris hipotezes: [tex]H_1[/tex]-"pasirinkta pirma urna", [tex]H_2[/tex]-"pasirinkta antra urna", [tex]H_3[/tex]-"pasirinkta trečia urna".
Tavo atveju prašo paskaičiuoti ne įvykio [tex]A[/tex] tikimybę, o sąlyginę tikimybę  [tex]P(H_1|A)[/tex], t.y. įvykio
[tex]H_1|A[/tex], kurį žodžiais nusakome: "pasirinkta pirma urna, kai ištrauktas juodas rutulys", tikimybę. Ši tikimybė yra paskaičiuojama pagal Bajeso formulę:
[tex]P(H_k|A)=\dfrac{P(A|H_k)\cdot P(H_k)}{P(A|H_1)\cdot P(H_1)+ P(A|H_2)\cdot P(H_2)+...+P(A|H_n)\cdot P(H_n)}[/tex]
Tavo atveju [tex]k=1[/tex].

pakeista prieš 6 m

Tai jeigu gerai supratau H1 , H2 ir H3 bus 1/3 taip ? O A 19/30 , nes kiek suprantu yra iš viso 30 rutuliu, iš jų 19 juodų ? Tik nesu tikras dėl trecios urnos nes ten neužsiminta apie rutuliu skaičiu.Po tavo paaiškinimo tapo šiek tiek aiškiau bet P(A|Hk) tai nelabai suprantu ka reiškia šitas | ženklas ?

pakeista prieš 6 m

Na iš tiesų A tikimybę gavai gerą, bet sprendimas tavo ne toks.
Bajeso formulėje vardiklyje yra pilnosios tikimybės formulė, t.y. įvykio A tikimybės apskaičiavimo formulė. Taigi tu turėjai taikyti ją.
Pavyzdžiui [tex]P(A|H_1)=\dfrac{6}{10}[/tex], nes pasirinkus pirmąją urną tikimybę ištraukti juodą yra [tex]\dfrac{6}{10}[/tex]. Panašiai [tex]P(A|H_2)=\dfrac{3}{10},\space P(A|H_3)=1[/tex]
Tada [tex]P(A)=\dfrac{6}{10}\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{1}{3}+1\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{19}{30}[/tex]
O tas brūkšnelis nieko nereiškia, tiesiog pasirinktas toks sąlyginės tikimybės žymėjimas.

pakeista prieš 6 m

Ačiū už pagalbą.Jeigu gerai viską susistačiau tai gavau [tex]\frac{6}{19}[/tex].

pakeista prieš 6 m

Taip, geras atsakymas.

Nori sudalyvauti šioje temoje ir parašyti savo pranešimą? Prisijungti »