eMatematikas Prisijunk Forumas VBE užduotys ONLINE testai

Trikampio krastiniu santykis...


Trikampio ABC kraštinėje AB yra taškai M ir N tokie, kad AM : MB = 4 : 3, AN : NB = 6 : 1. Tiesės CM ir CN kerta pusiaukraštinę BD taškuose P ir Q. Raskite santykį BQ : QP.

pakeista prieš 14 m

Aš nelabai supratau kokią pusiaukraštinę kerta? ;]

BD :)) bent kiek suprantu..

Sprendime daug kartų bus naudojamas teiginys, kad jei taškai X, Y ir Z yra vienoje tiesėje, o W nepriklauso tai tiesei, tai S(XWY) / S(YWZ) = XY / YZ. Čia S(ABC) reiškia trikampio ABC plotą. Tai įrodyti lengva: nubrėžkime statmenį WV iš W į tiesę XY (V priklauso XY). Tuomet WV taip pat yra ir statmuo iš W į XZ. taigi S(XWY) = 1/2 XY * WV, o S(YWZ) = 1/2 YZ * WV. Taigi S(XWY) / S(YWZ) = XY / YZ, kaip ir teigėme. Tai galima įrodyti ir trigonometriškai ar dar kitais būdais.

Taip pat daug kartų bus naudojama trigonometrinė tapatybė S(XYZ) = 1/2 XY * YZ * sin(XYZ). Čia sin(XYZ)
reiškia sinusą kampo XYZ.

BQ / QP = S(BCQ) / S(QCP) = (1/2 BC * CQ * sin(BCQ)) / (1/2 QC * CP * sin(QCP)) = (BC * sin(BCQ)) / (PC * sin(QCP)) = (BC * sin(BCN)) / (PC * sin(NCM)) = (MC / PC) * (1/2 BC * CN * sin(BCN)) / (1/2 CN * MC * sin(NCM)) = (MC / PC) * S(BCN) / S(NCM) = (MC / PC) * (BN / NM).

MP / PC = S(MBP) / S(PBC) = (MB * sin(MBP)) / (BC * sin(PBC)) = (MB / AB) * (AB * sin(ABD)) / (BC * sin(DBC)) = (MB / AB) * S(ABD) / S(DBC) = (MB / AB) * (AD / DC) = MB / AB (AB yra pusiaukraštinė, todėl AD = DC).

MC / PC = 1 + (MP / PC) = 1 + (MB / AB).

Taigi BQ / QP = (1 + (MB / AB)) * (BN / NM).

MB / AB = 3/7 (nes AM + MB = AB ir AM / MB = 4/3).
BN / NM = 1/2 (AN / NB = 6/1 ir AN + NB = AB duoda BN = 1/7 AB, o BN + NM = BM = 3/7 AB).

Taigi BQ / QP = 10/7 * 1/2  = 5/7.

Yra ir kiti sprendimai. Vienas iš jų būtų nagrinėti plotus (reiktų prisipiešti kelias aukštines), o kitas naudotų Menelajaus teoremą. Pastarasis būtų greitesnis, tik reikia žinoti pačią teoremą.

pakeista prieš 14 m

Nori sudalyvauti šioje temoje ir parašyti savo pranešimą? Prisijungti »