Trikampio ABC kraštinėje AB yra taškai M ir N tokie, kad AM : MB = 4 : 3, AN : NB = 6 : 1. Tiesės CM ir CN kerta pusiaukraštinę BD taškuose P ir Q. Raskite santykį BQ : QP.
pakeista prieš 14 m
house_martin PRO +2322
Aš nelabai supratau kokią pusiaukraštinę kerta? ;]
GhZvDj +5
BD :)) bent kiek suprantu..
AncientMariner +411
Sprendime daug kartų bus naudojamas teiginys, kad jei taškai X, Y ir Z yra vienoje tiesėje, o W nepriklauso tai tiesei, tai S(XWY) / S(YWZ) = XY / YZ. Čia S(ABC) reiškia trikampio ABC plotą. Tai įrodyti lengva: nubrėžkime statmenį WV iš W į tiesę XY (V priklauso XY). Tuomet WV taip pat yra ir statmuo iš W į XZ. taigi S(XWY) = 1/2 XY * WV, o S(YWZ) = 1/2 YZ * WV. Taigi S(XWY) / S(YWZ) = XY / YZ, kaip ir teigėme. Tai galima įrodyti ir trigonometriškai ar dar kitais būdais.
Taip pat daug kartų bus naudojama trigonometrinė tapatybė S(XYZ) = 1/2 XY * YZ * sin(XYZ). Čia sin(XYZ) reiškia sinusą kampo XYZ.
MP / PC = S(MBP) / S(PBC) = (MB * sin(MBP)) / (BC * sin(PBC)) = (MB / AB) * (AB * sin(ABD)) / (BC * sin(DBC)) = (MB / AB) * S(ABD) / S(DBC) = (MB / AB) * (AD / DC) = MB / AB (AB yra pusiaukraštinė, todėl AD = DC).
MC / PC = 1 + (MP / PC) = 1 + (MB / AB).
Taigi BQ / QP = (1 + (MB / AB)) * (BN / NM).
MB / AB = 3/7 (nes AM + MB = AB ir AM / MB = 4/3). BN / NM = 1/2 (AN / NB = 6/1 ir AN + NB = AB duoda BN = 1/7 AB, o BN + NM = BM = 3/7 AB).
Taigi BQ / QP = 10/7 * 1/2 = 5/7.
Yra ir kiti sprendimai. Vienas iš jų būtų nagrinėti plotus (reiktų prisipiešti kelias aukštines), o kitas naudotų Menelajaus teoremą. Pastarasis būtų greitesnis, tik reikia žinoti pačią teoremą.