Tomas PRO +4543
Įkvėptas vieno uždavinio, pateikto šiame forume, nutariau sukurti temą apie vektorius. Daugeliui vektoriai tai tik dar vienas neaiški matematinė sąvoka, kurių praktinis panaudojimas neaiškus. Tarkime paskaičiavau vektorių skaliarinę sandaugą ir gerai, o kas iš to, įrodžiau, jog vektoriai kolinearūs, ir vėl tik atlikau užduotį, o kur viso to prasmė? Tikiuosi perskaitę šią temą pakeisite požiūrį į vektorius ir suprasite koks galingas tai gali būti matematinis "įrankis".
1 pavyzdys:
Štai tarkime turime lygiašonį trikampį ABC (AB=AC). Iš taško A į kraštinę BC nubrėžiama pusiaukraštinė AD (BD=CD). Įrodykime, jog tokiu atveju AD yra ir šio trikampio aukštinė.
Trikampyje pažymime tokius vektorius: [tex]\vec{AB},\vec{AC},\vec{BC},\vec{AD}[/tex].
Kadangi taškas D - yra kraštinės BC vidurio taškas, tai teisinga tokia lygybė (lengvai įrodoma taikant lygiagretainio taisyklę):
[tex]\vec{AD}=\dfrac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})[/tex]
Pagal trikampio taisyklę gauname, kad:
[tex]\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}[/tex]
Paskaičiuokime vektorių [tex]\vec{AD}[/tex] ir [tex]\vec{BC}[/tex] skaliarinę sandaugą:
[tex]\vec{AD}\cdot \vec{BC}=\dfrac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})\cdot (\vec{AC}-\vec{AB})=\dfrac{1}{2}(\vec{AC}^{2}-\vec{AB}^{2})=\dfrac{1}{2}(|\vec{AC}|^{2}-|\vec{AB}|^{2})[/tex]
[tex]|\vec{AB}|^{2}=|\vec{AC}|^{2}[/tex], nes sąlygoje duota [tex]|\vec{AB}|=|\vec{AC}|[/tex].
Vadinasi:
[tex]|\vec{AC}|^{2}-|\vec{AB}|^{2}=0[/tex].
Taigi:
[tex]\vec{AD}\cdot \vec{BC}=\dfrac{1}{2}(|\vec{AC}|^{2}-|\vec{AB}|^{2})=0[/tex]
Žinome, jog jei vektorių skaliarinė sandauga lygi 0, tai tie vektoriai yra statmeni, taigi: [tex]\vec{AD}⊥ \vec{BC}[/tex], taigi gavome, jog AD yra ne tik trikampio pusiaukraštinė, bet ir aukštinė.
2 pavyzdys
Įrodykime, jog jei DE||AC, tai galioja lygybė: [tex]\frac{DB}{AD}=\frac{BE}{EC}[/tex]
Vektoriai [tex]\vec{AD}[/tex] ir [tex]\vec{DB}[/tex] yra kolinearūs, vadinasi egzistuoja toks skaičius [tex]m[/tex], jog [tex]\vec{AD}=m\vec{DB}[/tex]
Taip pat vektoriai [tex]\vec{BE}[/tex] ir [tex]\vec{EC}[/tex] yra kolinearūs, vadinasi egzistuoja toks skaičius [tex]n[/tex], jog [tex]\vec{EC}=n\vec{BE}[/tex]
Pagal trikampio taisyklę:
[tex]\vec{DE}=\vec{DB}+\vec{BE}[/tex]
[tex]\vec{AC}=m\vec{DB}+\vec{DB}+\vec{BE}+n\vec{BE}=(m+1)\vec{DB}+(n+1)\vec{BE}[/tex]
Kadangi [tex]\vec{DE}||\vec{AC}[/tex], tai egzistuoja toks skaičius [tex]k[/tex], jog [tex]\vec{AC}=k\vec{DE}[/tex]
Tada:
[tex]k\vec{DE}=k(\vec{DB}+\vec{BE})=k\vec{DB}+k\vec{BE}[/tex]
Tuo tarpu [tex]\vec{AC}=(m+1)\vec{DB}+(n+1)\vec{BE}[/tex]
Taigi:
[tex]k\vec{DB}+k\vec{BE}=(m+1)\vec{DB}+(n+1)\vec{BE}[/tex]
Lygybė bus teisingai tik tada, kai [tex]n+1=m+1[/tex]
Iš čia: [tex]n=m[/tex]
Tada:
[tex]m=\frac{|\vec{AD}|}{|\vec{DB}|}[/tex] ir [tex]n=\frac{|\vec{EC}|}{|\vec{BE}|}[/tex]
Kadangi [tex]n=m[/tex]
[tex]\frac{|\vec{AD}|}{|\vec{DB}|}=\frac{|\vec{EC}|}{|\vec{BE}|}[/tex]
arba tiesiog
[tex]\frac{DB}{AD}=\frac{BE}{EC}[/tex]
3 pavyzdys:
Na ir paskutinis pavyzdys. Įrodykime stačiojo trikampio sąvybę, susijusią su geometriniu vidurkiu. Iš mokyklos kurso žinome, jog stačiajam trikampiui ABC teisinga tokia lygybė:
[tex]AD^{2}=BD\cdot CD[/tex]
Įveskime vektorius, kurie pažymėti brėžinyje. Pagal trikampio taisyklę galime užrašyti, kad:
[tex]\vec{AB}=\vec{AD}+\vec{DB}[/tex] ir [tex]\vec{AC}=\vec{AD}+\vec{DC}[/tex]
Vektoriai [tex]\vec{AB}[/tex] ir [tex]\vec{AC}[/tex] statmeni iš sąlygos, vadinasi jų skaliarinė sandauga lygi 0:
[tex](\vec{AD}+\vec{DB})(\vec{AD}+\vec{DC})=0[/tex]
Atskliaudę gauname:
[tex]\vec{AD}^{2}+\vec{AD}\cdot \vec{DC}+\vec{AD}\cdot \vec{DB}+\vec{DB}\cdot \vec{DC}=0[/tex]
[tex]\vec{AD}\cdot \vec{DC}=0[/tex], nes vektoriai statmeni ir [tex]\vec{AD}\cdot \vec{DB}=0[/tex] dėl tos pačios priežasties.
Vadinasi gauname:
[tex]\vec{AD}^{2}+\vec{DB}\cdot \vec{DC}=0[/tex]
Kadangi vektoriai [tex]\vec{DB}[/tex] ir [tex]\vec{DC}[/tex] priešpriešiniai tai jų skaliarinė sandauga lygi:
[tex]\vec{DB}\cdot \vec{DC}=|\vec{DB}|\cdot |\vec{DC}|\cdot \cos180^\circ=-|\vec{DB}|\cdot |\vec{DC}|[/tex]
[tex]\vec{AD}^{2}=|\vec{AD}|^{2}[/tex] vadinasi gauname:
[tex]|\vec{AD}|^{2}-|\vec{DB}|\cdot |\vec{DC}|=0[/tex]
[tex]|\vec{AD}|^{2}=|\vec{DB}|\cdot |\vec{DC}|[/tex]
Arba tiesiog:
[tex]AD^{2}=BD\cdot CD[/tex]
Tikiuosi ši tema jums bus pavyzdys kaip netradiciškai galime pažvelgti į geometrinius uždavinius. Tiesa išduosiu paslaptį, jog būtent remiantis vektoriais galima išspręsti ir mano įkeltą uždavinį skiltyje "Matematikos maratonas 3".