eMatematikas Prisijunk Forumas VBE užduotys ONLINE testai

Vektorių komplanarumas, plokštumos ir tiesės erdvėje


Sveiki, sprendžiant vektorių ir tiesių bei plokštumų uždavinius atsirado keletas probleminių uždavinių.

1. Vektoriai a, b, c yra nekomplanarūs, kokios turi būti skaliaro λ reikšmės, kad vektoriai (a + 2b + λc), (4a + 5b + 6c), (7a + 8b + λ²c) būtų komplanarūs?

Aišku, kad pirmų dvejų vektorių vektorinės sandaugos vektorius turėtų būti skaliariškai padauginta iš trečiojo vektorio, bet šiuo atveju neduota tikslių koordinačių, todėl dauginant susidaro ilga nesuprastinamų reiškinių eilutė.

2. Raskite lygtį plokštumos, kuri eina per koordinačių pradžios tašką ir yra lygiagreti plokštumai 5x - 3y + 2z - 3 = 0.

Taigi pagal salygą duotas taškas M1(0; 0; 0), normalės vektorius n(5; -3; 2). Jei ieškoma plokštuma turi tašką M(x; y; z), tada vektorius M1M(x; y; z). Jei susidarau lygtį M1M * n = 0, tada gaunu naujos plokštumos lygtį 5x - 3y + 2z = 0, kuri yra beveik identiška duotajai sąlygoje (tai verčia suabejoti dėl sprendimo korektiškumo).

3. Ašyje Oy raskite tašką, kurio atstumas iki plokštumos x + 2y - 2z - 2 = 0 būtų lygus 4.

Iš čia žinomas vienetinis vektorius j(0; 1; 0), normalės vektorius n(1; 2; -2). Pritaikius taško iki plokštumos atstumo formulę atsiranda trys nežinomieji (x0, y0, z0). Ką daryti toliau?

pakeista prieš 7 m

1.
Kadangi vektoriai išreikšti per vektorius [tex]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/tex], tai tų vektorių koordinatėmis galime laikyti koeficientus, esančius prie atitinkamų vektorių.
[tex]\left| \begin{array}{ccc}1 & 2 & \lambda \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & \lambda^2 \end{array} \right|=0[/tex]

[tex]5\lambda^2+84+32\lambda-35\lambda-48-8\lambda^2=0[/tex]

[tex]\lambda^2+\lambda-12=0[/tex]

[tex]\lambda_{1}=-4[/tex],  [tex]\lambda_{2}=3[/tex]

2. Viskas gerai, lygiagrečių plokštumų lygčių pirmieji trys koeficientai turi būti proporcingi (arba lygūs). Pas tave taip ir yra.

3. Tavęs prašo rasti tašką, esantį Oy ašyje. Vadinasi šio taško koordinatės (0;y;0).
Kai taško koordinatės [tex](x_{1},y_{1},z_{1})[/tex], o plokštumos lygtis [tex]Ax+By+Cz+D=0[/tex]
Tai atstumas randamas pagal formulę:
[tex]d=\dfrac{|Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/tex]

Mūsų atveju gauname lygtį:
[tex]\dfrac{|0+2y-2\cdot 0-2|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=4[/tex]
Iš jos:
[tex]|2y-2|=12[/tex]
[tex]|y-1|=6[/tex]
Gauname dvi lygtis:
[tex]y-1=-6[/tex]    ir  [tex]y-1=6[/tex] 
[tex]y=-5[/tex]    ir  [tex]y-1=7[/tex]

Taigi turime du galimus taškus: (0;-5;0)  arba  (0;7;0)

Dėkoju už pagalbą!

Nori sudalyvauti šioje temoje ir parašyti savo pranešimą? Prisijungti »