eMatematikas.lt Naujienos Kategorijos Nauja tema Nariai Prisijungti Registruotis
       

Kategorijos

Naudingos temos

Viena is coffin problems (lygtis)

Kategorija: Aukštoji matematika

412

Isspreskite lygti
[tex](107 + (107 + x)^{(1/2)})^{(1/2)} = x.[/tex]

Pagelbekit su situo

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-01-21

0

O su LT raidėm pagalbos nereikia?

1

[tex]\sqrt{107+\sqrt{107+x}}=x[/tex]
Pažymėsime [tex]t=\sqrt{107+x}[/tex]
Tada
[tex]\sqrt{107+t}=x[/tex]
[tex]t^{2}=107+x, t\geq 0[/tex]
[tex]x^{2}=107+t, x\geq 0[/tex]
[tex](t-x)(t+x)=x-t[/tex]
[tex](t-x)(t+x+1)=0[/tex]
Kadangi t ir x neneigiami, tai
t=x
[tex]\sqrt{107+x}=x[/tex]
[tex]107+x=x^{2}, x\geq 0[/tex]
Atsakymas: [tex]x=\frac{1+\sqrt{429}}{2}[/tex]


0

Lietuviskai rasyti komentaras reiketi moketi seip jeu.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-01-22

0

Ačiū

0

Tik dabar teko žvilgtelėti į šį uždavinį. Kadangi jis šviežokas, tai mestelsiu naudingų idėjų, kaip tokie uždaviniai gali būti sprendžiami. Sokolovas pasiūlė panaudoti keitinį ir taip jis gavo sistemą:
[tex]\begin{cases} t^2=107+x \\ x^2=107+t\end{cases}[/tex]
Po to šią sistemą sėkmingai išsprendė sudėties - atimties būdu. Šis sprendimas man gražus, nes jis nestandartinis: retai kada lygtyse panaudojus keitinį galime gauti simetriškų lygčių sistemą. Aš siūlau dar giliau paanalizuoti, kas tai per uždavinys.

Atlikus su uždaviniu paprastus algebrinius pertvarkymus, turime štai ką:

[tex]\sqrt{107+\sqrt{107+x}}=x[/tex], kelsime abi puses kvadratu laikantis sąlygos [tex]x\geq 0[/tex];
[tex]107+\sqrt{107+x}=x^2[/tex], atimsime iš abiejų pusių 107;
[tex]\sqrt{107+x}=x^2-107[/tex], kelsime abi puses kvadratu laikantis sąlygos [tex]x\geq \sqrt{107}[/tex];

Ieškome tik tų daugianario šaknų, kurios tenkina [tex]x\geq \sqrt{107}[/tex]. Tokia yra tik viena šaknis

[tex]107+x=(x^2-107)^2[/tex], atskliausime ir perkelsime viską į kairę pusę;
[tex]x^4-214x^2-x+11342=0[/tex]

Gauname ketvirto laipsnio lygtį. Tokių lygčių sprendimas bendru atveju sudėtingas. Pavyzdžiui šiuo atveju lygtį būtų galima pertvarkyti taip:

[tex]x^4-213x^2+11342,25=x^2+x+0,25[/tex]
[tex](x^2-106,5)^2=(x+0,5)^2[/tex]
[tex]x^2-106,5=\pm(x+0,5)[/tex]

ir spręsti du dalinius atvejus(kai +, ir, kai -). Tačiau norint tokį pertvarkymą pastebėti pačiam, reikia arba labai didelės įžvalgos, arba būti susipažinus su sudėtingu Ferrari metodu, skirtu spręsti visoms 4 laipsnio lygtims. Vis dėlto šiame uždavinyje yra papildoma informacija: lygtis yra formos [tex]f(f(x))=x[/tex], kur [tex]f(x)=\sqrt{107+x}[/tex]. Tokių lygčių dalis sprendinių tenkins lygtį [tex]f(x)=x[/tex], arba kitaip:

[tex]\begin{array}{l} \sqrt{107+x}=x \\ 107+x=x^2 \\ x^2-x-107=0\end{array}[/tex]

Pirma lygtis ekvivalenti trečiai, jei tariame, kad sprendinių aibėje gali būti kompleksiniai skaičiai (kitu atveju reiktų papildomos sąlygos [tex]x\ge 0[/tex]). Dabar turime, kad dalis daugianario [tex]x^4-214x^2-x+11342[/tex] sprendinių sutampa su daugianario [tex]x^2-x-107[/tex] sprendiniais, vadinasi, pagal Mažąją Bezu teoremą  [tex]x^4-214x^2-x+11342[/tex] dalijasi be liekanos iš [tex]x^2-x-107[/tex]. Padalinę (pavyzdžiui naudojant dviejų daugianarių dalinimą kampu), gauname:

[tex]x^4-214x^2-x+11342=(x^2-x-107)(x^2+x-106)[/tex]

Ieškome šio daugianario šaknų, tenkinančių [tex]x\geq \sqrt{107}[/tex]. Tokia yra tik šaknis [tex]x=\frac{1+\sqrt{429}}{2}[/tex]

0

Dėkui už tokį detalų sprendimą!

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!