eMatematikas Forumas VBE užduotys Testai

Filtras

Kategorijos

Matematikos formulės

Standartinė skaičiaus išraiška: $a \cdot 10^{m}$, čia $1 \leq a<10, m$ - sveikasis skaičius (skaičiaus eilė).

Greitosios daugybos formulės: $${(a \pm b)^2 =a^2 \pm 2ab+b^2}$$ $$(a \pm b)^{3}=a^{3} \pm 3 a^{2} b+3 a b^{2} \pm b^{3}$$ $${a^2 - b^2 =(a-b)(a+b)}$$ $$a^{3} \pm b^{3}=(a \pm b)(a^{2} \mp a b+b^{2})$$

Kvadratinio trinario skaidymas dauginamaisiais: $$a x^{2}+b x+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$

Kvadratinės lygties sprendinių formulė: $x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$

Vijeto teorema: Kai $x^2+px+q=0$, tai $x_1+x_2=-p$ ir $x_1\cdot x_2=q$, kur $x_1$ ir $x_2$ yra lygties sprendiniai.

Aritmetinė progresija: $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$ $$S_{n}=\dfrac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n=\dfrac{2a_{1}+d(n-1)}{2} \cdot n$$ Tris paeiliui einančius aritmetinės progresijos narius sieja lygybė $\dfrac{a_1+a_3}{2}=a_2$

Geometrinė progresija: $$b_{n}=b_{1} q^{n-1}$$ $$S_{n}=\dfrac{b_{1}-q b_{n}}{1-q}=\dfrac{b_{1}(1-q^{n})}{1-q}$$ Tris paeiliui einančius geometrinės progresijos narius sieja lygybė $b_1\cdot b_3=b_2^2$

Nykstamoji geometrinė progresija: $S=\dfrac{b_{1}}{1-q}$.

Sudėtinių procentų formulė: $$S_{n}=S\left(1 \pm \dfrac{p}{100}\right)^{n}$$ Čia $S$ - pradinis dydis, $p$ - procentai, $n$ - kartai.

Trikampis: $$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$$ $$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2 R$$ $$S=\dfrac{1}{2} a b \sin C=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=r p=\dfrac{a b c}{4 R}$$ Čia $a, b, c$ - trikampio kraštinių ilgiai, $A, B, C$ - prieš jas esančių kampų didumai, $p$ - pusperimetris, $r$ ir $R$ - įbrėžtinio ir apibrėžtinio apskritimų spindulių ilgiai, $S$ -trikampio plotas.

Skritulys, apskritimas: $$S=\dfrac{\pi R^{2}}{360^{\circ}} \cdot \alpha,\ l=\dfrac{2 \pi R}{360^{\circ}} \cdot \alpha$$ Čia $\alpha$ - centrinio kampo didumas laipsniais, $S$ - išpjovos plotas, $l$ - išpjovos lanko ilgis, $R$ - spindulio ilgis.

Daugiakampio kampų suma: $180^{\circ}(n-2)$; čia $n$ - daugiakampio kampų skaičius.

Prizmės tūris: $V=S H$, čia $S$ - prizmės pagrindo plotas, $H$ - prizmės aukštinė.

Piramidės tūris: $V=\dfrac{1}{3} S H$, čia $S$ - piramidės pagrindo plotas, $H$ - piramidės aukštinė.

Ritinys: $V=\pi R^{2} H$, $S_{\text{šon. pav.}}=2 \pi R H$, $R$ - ritinio pagrindo spindulys, $H$ - ritinio aukštinė.

Kūgis: $$S_{\text {šon. pav.}}=\pi R l,\ V=\dfrac{1}{3} \pi R^{2} H$$ Čia $R$ - pagrindo spindulio ilgis, $l$ - sudaromosios ilgis, $H$ - aukštinės ilgis.

Rutulys: $S=4 \pi R^{2},\ V=\dfrac{4}{3} \pi R^{3} ;$ čia $R$ - spindulio ilgis.

Nupjautinis kūgis: $$S_{\text{šon. pav.}}=\pi(R+r) l$$ $$V=\dfrac{1}{3} \pi H(R^{2}+R r+r^{2})$$ Čia $R$ ir $r$ - pagrindų spindulių ilgiai, $l$ - sudaromosios ilgis, $H$ - aukštinės ilgis.

Nupjautinės piramidės tūris: $$V=\dfrac{1}{3} H(S_{1}+\sqrt{S_{1} S_{2}}+S_{2})$$ Čia $S_{1}$, $S_{2}$ - pagrindų plotai, $H$ - aukštinės ilgis.

Rutulio nuopjova: $$S=2 \pi R H, V=\dfrac{1}{3} \pi H^{2}(3 R-H)$$ Čia $R$ - rutulio spindulio ilgis, $H$ - nuopjovos aukštinės ilgis.

Erdvės vektoriaus ilgis: $|\vec{a}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} ;$ čia $\vec{a}=(x ; y ; z)$.

Vektorių skaliarinė sandauga: $\vec{a} \cdot \vec{b}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cos \alpha;$ čia $\alpha$ - kampo tarp vektorių $\vec{a}=\left(x_{1} ; y_{1} ; z_{1}\right)$ ir $\vec{b}=\left(x_{2} ; y_{2} ; z_{2}\right)$ didumas.

Pagrindiniai trigonometrinių funkcijų sąryšiai: $$\sin ^2 \alpha +\cos ^2 \alpha = 1\\  \sin({2\alpha})=2\sin{\alpha}\cos{\alpha},\ \cos({2\alpha})=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ \operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\ \operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$$

Kiti trigonometrinių funkcijų sąryšiai: $$1+\operatorname{tg}^{2} \alpha=\dfrac{1}{\cos ^{2} \alpha},\ 1+\operatorname{ctg}^{2} \alpha=\dfrac{1}{\sin ^{2} \alpha}$$ $$ \sin ^{2} \alpha=\dfrac{1-\cos 2 \alpha}{2},\ \cos ^{2} \alpha=\dfrac{1+\cos 2 \alpha}{2}$$ $$\operatorname{tg}(\alpha \pm \beta)=\dfrac{\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta}$$ $$\sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\\ \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelė: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline    {\text{Laipsniai}} & 0 & 30^{\circ} & 45^{\circ} & 60^{\circ} & 90^{\circ} \\\hline  {\text{Radianai}} & 0 & {\dfrac{\pi}{6}} & {\dfrac{\pi}{4}} & {\dfrac{\pi}{3}} & {\dfrac{\pi}{2}} \\\hline  {\sin\alpha} & 0 & {\dfrac{1}{2}} & {\dfrac{\sqrt{2}}{2}} & {\dfrac{\sqrt{3}}{2}} & 1 \\\hline  {\cos\alpha} & 1 & {\dfrac{\sqrt{3}}{2}} & {\dfrac{\sqrt{2}}{2}} & {\dfrac{1}{2}} & 0 \\\hline  {\text{tg}\alpha} & 0 & {\dfrac{\sqrt{3}}{3}} & 1 & {\sqrt{3}} & - \\\hline  {\text{ctg}\alpha} & - & {\sqrt{3}} & 1 & {\dfrac{\sqrt{3}}{3}} & 0 \\\hline \end{array}$$

Trigonometrinės lygtys: $$\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{l} \sin x=a, \\ x=(-1)^{k} \arcsin a+\pi k ; \text { čia } k \in \mathbb{Z},-1 \leq a \leq 1 \end{array}\right.} \\ & {\left[\begin{array}{l}\cos x=a, \\ x=\pm \arccos a+2 \pi k ; \text { čia } k \in \mathbb{Z},-1 \leq a \leq 1 \end{array}\right.} \\ & {\left[\begin{array}{l} \operatorname{tg} x=a, \\ x=\operatorname{arctg} a+\pi k ; \text { čia } k \in \mathbb{Z}, a \in \mathbb{R} .\end{array}\right.} \end{aligned}$$

Išvestinių skaičiavimo taisyklės: $(c u)^{\prime}=c u^{\prime},\ (u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime},(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime},\ \left(\dfrac{u}{v}\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} ;$ čia $u$ ir $v$ - diferencijuojamosios funkcijos, $c$ - konstanta.

Funkcijų išvestinės: $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$, $(e^x)'=e^x$, $(a^{x})'=a^{x} \ln a$, $(\log _{a} x)'=\dfrac{1}{x \ln a}$, $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$, $(\operatorname{tg}x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}$, $(\operatorname{ctg}x)'=-\dfrac{1}{\sin^2 x}$

Sudėtinės funkcijos $h(x)=g(f(x))$ išvestinė: $h^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x)$.

Funkcijos grafiko liestinės taške $\left(x_{0} ; f\left(x_{0}\right)\right)$ lygtis: $y=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right) \cdot\left(x-x_{0}\right)$, $f'(x_0)=k=\operatorname{tg}\alpha$

Pagrindinės logaritmų savybės: $\log _{a}(xy)=\log _{a} x+\log _{a} y,\ \log _{a}\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log _{a} x-\log _{a} y,\ \log _{a} x^{k}=k \log _{a} x,\ \log _{a} b=\dfrac{\log _{c} b}{\log _{c} a}$ Papildomos logaritmų tapatybės: $\log _{a^k} x=\dfrac{1}{k} \log _{a} x$ ir $a^{\large{\log_a{b}}}=b$.

Derinių skaičius: $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}=\dfrac{n !}{k !(n-k) !}$

Gretinių skaičius: $A_{n}^{k}=\dfrac{n !}{(n-k) !}$

Kėlinių skaičius: $P_n=n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$

Tikimybių teorija: atsitiktinio dydžio $X$ matematinė viltis $\mathbf{E} X=x_{1} p_{1}+x_{2} p_{2}+\ldots+x_{n} p_{n}$, dispersija $\mathbf{D} X=\left(x_{1}-\mathbf{E} X\right)^{2} p_{1}+\left(x_{2}-\mathbf{E} X\right)^{2} p_{2}+\ldots+\left(x_{n}-\mathbf{E} X\right)^{2} p_{n}$