Apibrėžtinis integralas. Kontrolinis žinių patikrinimas

1. Apskaičiuokite
a) [tex]\int_{0}^{\pi }\frac{xsinxdx}{1+cos^{2}x}[/tex]
b) [tex]\int_{0}^{1}x(1-x)^{2018}dx[/tex]
c) [tex]\int_{4}^{16}\frac{dx}{x\sqrt{\sqrt{x}-1}}[/tex]
2. [tex]F(n)=\int_{0}^{1}x^{n}e^{x}dx[/tex],n-natūralusis skaičius.
a) Apskaičiuokite F(1)
b) Įrodykite, jog
[tex]F(n+1)=e-(n+1)F(n)[/tex]
c) Apskaičiuokite
[tex]\int_{0}^{1}x^{5}e^{x}dx[/tex]
3/ [tex]I(n)=\int_{0}^{\pi }\frac{sin(nx)dx}{sinx}[/tex], n-natūralusis skaičius.
a) Įrodykite, jog
[tex]I(n+2)=I(n)[/tex]
b)Įrodykite, jog
[tex]\int_{0}^{\pi }\frac{sin(2018x)dx}{sinx}=0[/tex]
c) Apskaičiuokite
[tex]\int_{0}^{\pi }\frac{sin(2017x)dx}{sinx}[/tex]
4. Įrodykite, jog kreivinės trapecijos
[tex]T_{1}=\left \{ (x,y)|1\leq x\leq 2,0\leq y\leq \frac{1}{1+x^{6}} \right \}[/tex]
ir
[tex]T_{2}=\left \{ (x,y) |\frac{1}{2}\leq x\leq 1,0\leq y\leq \frac{x^{4}}{1+x^{6}}\right \}[/tex]
yra lygiaplotės.