ematematikas Registruotis Ieškoti

Iracionaliųjų lygčių sprendimas. Įdomus uždavinys (2)

Skaičiavimai   Peržiūrų skaičius (992)

Taigi, išspręsime lygtį:
x( 2 - x²) √(4- x²) = 2
Sprendimas:
Kadangi kintamojo x leistinųjų reikšmių intervalas: x∈[- 2; 2], tai galime pakeisti kintamąjį taip:
x=2sint,  t=arcsin(x/2)∈[ - pi/2 ; pi/2]
Įrašę keitinį į lygtį, gausime:
8sint (1 - 2sin²t) √(1- sin²t) = 2, t.y.
8sint cos2t cost = 2
4sin2t cos2t = 2
2sin4t = 2
sin4t = 1.
Intervale [ - pi/2; pi/2] ši lygtis turi tik du sprendinius:
t=pi/8 arba t= - 3pi/8.
Atitinkamos x reikšmės yra:
x = 2sin(pi/8) = 2√((1-cos45)/2) = √(2 - √2) bei
x=2sin(-3pi/8) =- 2sin(3pi/8) = - 2√((1- cos135)/2)=- √(2+√2).
Atsakymas:  {√(2- √2), - √(2+√2) }
ANALOGIŠKI UŽDAVINIAI ( LYGTYS)
1)  √(2x - x²)= 3x - x²
(galima spręst ir kėlimo kvadratu būdu, ir keitiniu t=1+sint )
Atsakymas: { 0, 1, 1-√2/2 }
2)  x√3 + √(4- x²) = 4 - 2x²
Atsakymas: { - √3, 2sin20} ( sinuso argumentas parašytas laipsniais)
3)  2x²√2 + 3√(9- x²) = 9√2 - 3x.
Atsakymas: { - 3√2/2, (3/2)√(2- √3) }.
4)  8(2x - 3)√(3x- x²)= 9√3.
Atsakymas: { 9/4, (6+3√3)/4}.

1

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!