eMatematikas.lt
Forumas
Įrankiai Formulynas Testai Egzaminai
Prisijungti        
« PradžiaGeometrija163

Įrodykite, kad gautojo keturkampio plotas lygus ketvirtadaliui trapecijos ploto.


Trapecijos ABCD įstrižainės kertasi taške O. Atkarpų OA, OB, OC, OD
vidurio taškai paeiliui sujungiami atkarpomis. Įrodykite, kad gautojo
keturkampio plotas lygus ketvirtadaliui trapecijos ploto. (3 taskai) (Uzduotis VBE)


Įrodymas.

S(abcd)=((AD+BC)/2)*BV
S(klmn)=((0.5AD+0.5BC)*BV)/4=
      =(0.5AD*BV+0.5BC*BV)/4=
      =1/8AD*BV + 1/8BC*BV=
      =((AD+BC)/2)*1/4BV


Ar taip darydama irodau trims taskams? ar tai tik mnipuliacija? Padekite prasau labai stengiuosi pasiruosi egzaminui.

0

Kaip suprantu rėmeisi tuo, jog sujungus tuos taškus, gauname trapeciją, kurios pagrindų ir aukštinės ilgiai yra dukart trumpesni už duotosios trapecijos tų pačių elementų ilgius.
Kaip ir viskas būtų gerai, bet trūktų pagrindimo, kodėl tokios išvados priėjai.

0

Kaip turėtų atrodyti pagrindimas?

0

Siūlau spręsti taip:
https://www.ematematikas.lt/upload/images/1545402910_2093.png
Paprasčiausia būtų įrodynėti nagrinėjant trikampius AOB, BOC, COD ir AOD. Tuomet EF, FG, GH ir EH yra šių atitinkamų trikampių vidurio linijos, kurios pagal savybę lygiagrečios atitinkamai kraštinėms AB, BC, CD ir AD ir lygios atitinkamai jos pusei.
Taip pat žinome, jog jei trikampį kerta tiesė lygiagreti vienai iš kraštinių, tai atkirstas trikampis yra panašus į pradinį, taigi:
[tex]ΔOFE\simΔOAB,\space ΔOFG\simΔOBC,\spaceΔOGH\simΔOCD,\spaceΔOEH\simΔOAD.[/tex]
O panašumo koeficientai visi lygūs (prilyginame atitinkamų kraštinių santykiui, kuris išplaukia iš vidurinės linijos savybės): [tex]k=\dfrac{1}{2}[/tex].
Šių atitinkamų trikampių plotų santykiai lygūs panašumo koeficiento kvadratui, taigi:
$$\dfrac{S_{ΔOFE}}{S_{ΔOAB}}=\dfrac{S_{ΔOFG}}{S_{ΔOBC}}=\dfrac{S_{ΔOGH}}{S_{ΔOCD}}=\dfrac{S_{ΔOEH}}{S_{ΔOAD}}=k^2=\dfrac{1}{4}$$
Vadinasi:
$$S_{ΔOFE}=\dfrac{1}{4}S_{ΔOAB}\\S_{ΔOFG}=\dfrac{1}{4}S_{ΔOBC}\\S_{ΔOGH}=\dfrac{1}{4}S_{ΔOCD}\\S_{ΔOEH}=\dfrac{1}{4}S_{ΔOAD}\\S_{ΔOFE}+S_{ΔOFG}+S_{ΔOGH}+S_{ΔOEH}=\dfrac{1}{4}S_{ΔOAB}+\dfrac{1}{4}S_{ΔOBC}+\dfrac{1}{4}S_{ΔOCD}+\dfrac{1}{4}S_{ΔOAD}\\S_{EFGH}=\dfrac{1}{4}\left(S_{ΔOAB}+S_{ΔOBC}+S_{ΔOCD}+S_{ΔOAD}\right)\\S_{EFGH}=\dfrac{1}{4}S_{ABCD}$$

Buvo galima mėginti įrodynėti per keturkampių panašumą, bet nusprendžiau kitaip.

Paskutinį kartą atnaujinta 2018-12-21

0

Norėdami rašyti žinutes privalote prisijungti!